Quiero mostrar
$$\frac{\sum_{k=1}^N X_k}{\sqrt{\sum_{k=1}^N X_k^2}} \overset{N\to\infty}{\to} \mathcal{N}(0,1)\text{ in distribution,}$$
donde $X_1,X_2,\ldots$ es una secuencia de variables aleatorias iid $\mathbb{E}(X_1)=0$ y $\mathbb{E}(X_1^2) = s < \infty$.
Ahora sé sobre el CLT, i. e. $\frac{\sum_{k=1}^N X_k}{\sqrt{sn}}\to\mathcal{N}(0,1)$ y la prueba con funciones características, pero calcular el CF de esta cosa parece un poco engorroso y creo que me falta un enfoque más elegante.
Le agradeceria un Consejo. TIA