Un caso del teorema de límite central

Question

Quiero mostrar

$$\frac{\sum_{k=1}^N X_k}{\sqrt{\sum_{k=1}^N X_k^2}} \overset{N\to\infty}{\to} \mathcal{N}(0,1)\text{ in distribution,}$$

donde $X_1,X_2,\ldots$ es una secuencia de variables aleatorias iid $\mathbb{E}(X_1)=0$ y $\mathbb{E}(X_1^2) = s < \infty$.

Ahora sé sobre el CLT, i. e. $\frac{\sum_{k=1}^N X_k}{\sqrt{sn}}\to\mathcal{N}(0,1)$ y la prueba con funciones características, pero calcular el CF de esta cosa parece un poco engorroso y creo que me falta un enfoque más elegante.

Le agradeceria un Consejo. TIA

Answer 1

Dividir numerador y denominador por $\sqrt {sn}$ y aplicar el teorema de Slutsky. Después de la división, el numerador converge a un $\mathcal N(0, 1)$ \sqrt{\sum $$ X_i ^ 2 / sn} \to \sqrt{s / s} = 1, $$ por el SLLN. Por Teorema de Slutsky el cociente converge a una variable de aleatoria $\mathcal N(0, 1)$.