Este problema ha surgido en mi investigación y me está confundiendo inmensamente, cualquier luz que pueda arrojar sería profundamente apreciada.
Dejemos que $B(t)$ denotan un movimiento browniano estándar (proceso de Wiener), tal que la diferencia $B(t)-B(s)$ tiene una distribución normal con media y varianza cero $t-s$ .
Busco una expresión para
$$E\left[ \cos(B(t))\int\limits_0^t \sin(B(s))\,\textrm{d}B(s) \right],$$
donde la integral es una It estocástica $\hat{\textrm{o}}$ integral. Mi primer pensamiento fue que la expectativa de la integral por sí sola es cero, y que los dos términos son estadísticamente independientes, por lo que el conjunto da cero. Sin embargo, no puedo demostrar esto.
Para ponerte en antecedentes: esta expresión surge como uno de varios términos en un cálculo del segundo momento de la integral
$$\int\limits_{0}^{t}\cos(B(s))\,\textrm{d}s,$$
después de aplicarlo $\hat{\textrm{o}}$ y la cuadratura. Puedo simularlo numéricamente, ¡así que debería saber cuándo obtengo la expresión final correcta!
Gracias.