Valor esperado de un producto de una integral de Ito y una función de un movimiento browniano

Question

Este problema ha surgido en mi investigación y me está confundiendo inmensamente, cualquier luz que pueda arrojar sería profundamente apreciada.

Dejemos que $B(t)$ denotan un movimiento browniano estándar (proceso de Wiener), tal que la diferencia $B(t)-B(s)$ tiene una distribución normal con media y varianza cero $t-s$ .

Busco una expresión para

$$E\left[ \cos(B(t))\int\limits_0^t \sin(B(s))\,\textrm{d}B(s) \right],$$

donde la integral es una It estocástica $\hat{\textrm{o}}$ integral. Mi primer pensamiento fue que la expectativa de la integral por sí sola es cero, y que los dos términos son estadísticamente independientes, por lo que el conjunto da cero. Sin embargo, no puedo demostrar esto.

Para ponerte en antecedentes: esta expresión surge como uno de varios términos en un cálculo del segundo momento de la integral

$$\int\limits_{0}^{t}\cos(B(s))\,\textrm{d}s,$$

después de aplicarlo $\hat{\textrm{o}}$ y la cuadratura. Puedo simularlo numéricamente, ¡así que debería saber cuándo obtengo la expresión final correcta!

Gracias.

Answer 1

Esto responde a la pregunta citada como motivación.

Por cada $t\geqslant0$ , introduzca $X_t=\int\limits_{0}^{t}\cos(B_s)\,\textrm{d}s$ y $m(t)=\mathrm E(\cos(B_t))=\mathrm E(\cos(\sqrt{t}Z))$ , donde $Z$ es normal estándar. Entonces $\mathrm E(X_t)=\int\limits_{0}^{t}m(s)\,\textrm{d}s$ y $\mathrm E(X_t^2)=\int\limits_{0}^{t}\int\limits_{u}^{t}2\mathrm E(\cos(B_s)\cos(B_u))\,\textrm{d}s\textrm{d}u$ .

Por cada $s\geqslant u\geqslant0$ , uno tiene $2\cos(B_s)\cos(B_u)=\cos(B_s+B_u)+\cos(B_s-B_u)$ . Además, $B_s+B_u=2B_u+(B_s-B_u)$ es normal con varianza $4u+(s-u)=s+3u$ y $B_s-B_u$ es normal con varianza $s-u$ . Por lo tanto, $2\mathrm E(\cos(B_s)\cos(B_u))=m(s+3u)+m(s-u)$ , lo que implica $$\mathrm E(X_t^2)=\int\limits_{0}^{t}\int\limits_{u}^{t}(m(s+3u)+m(s-u))\,\textrm{d}s\textrm{d}u.$$ Desde $m(t)=\mathrm e^{-t/2}$ Esto da como resultado, después de algunos cálculos estándar, $\mathrm E(X_t)=2(1-\mathrm e^{-t/2})$ y $$\mathrm E(X_t^2)=2t-\frac13(1-\mathrm e^{-2t})-\frac83(1-\mathrm e^{-t/2}).$$ Comprobación de cordura: Cuando $t\to0^+$ , $\mathrm E(X_t^2)=t^2+o(t^2)$ .

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Para calcular la integral $J_t=\mathrm E\left[ \cos(B_t)\int\limits_{0}^{t} \sin(B_s)\,\textrm{d}B_s \right]$ se puede empezar con la fórmula de Itô $$\cos(B_t)=1-\int\limits_{0}^{t} \sin(B_s)\,\textrm{d}B_s-\frac12\int\limits_{0}^{t} \cos(B_s)\,\textrm{d}s,$$ por lo que $$J_t=\mathrm E(\cos(B_t))-\mathrm E(\cos^2(B_t))-\frac12\int\limits_{0}^{t} \mathrm E(\cos(B_t)\cos(B_s))\,\textrm{d}s,$$ y parece que cada término puede ser calculado fácilmente.