De Ticcati del libro de texto, me pide que le muestran que a partir de los axiomas de la posición del operador obtenemos que: $$ \text{e}^{-ia\cdot P} |x\rangle = |x+a\rangle $$
donde los axiomas son: $$ X=X^{\daga} $$
Si $\Delta_a$ es un espacio de traducción, a continuación, $U(\Delta_a)^{\dagger} X U(\Delta_a) = X + a$ donde $U$ es la representación de un operador unitario, sabemos que $\text{e}^{ia\cdot P} X \text{e}^{-ia\cdot P} = X + a$.
Si $R$ es un espacio de rotación, a continuación,$U(R)^{\dagger} X U(R) = RX$.
Esto es lo que he intentado hasta ahora para hacer con esto:
$$ \text{e}^{ia\cdot P} X \text{e}^{-ia\cdot P}|x+a\rangle =(X+a) |x+a\rangle = (x+a) |x+a\rangle $$
$$ X|y\rangle:=X \text{e}^{-ia\cdot P}|x+a\rangle = (x+a)\text{e}^{-ia\cdot P}|x+a\rangle=(x+a) |y\rangle $$
Ahora quiero demostrar de alguna manera que $|y\rangle=|x+2a\rangle$, pero no veo como, las sugerencias?
Gracias de antemano.
