Demostrar que un Pentágono con ángulos congruentes y los lados racionales es regular.

Question

El siguiente problema es de la 18 Olimpiada de matemática balcánica.

"En un Pentágono todos los ángulos interiores son congruentes y sus lados tienen longitudes racionales. Demostrar que este Pentágono es regular".

Además del hecho de que no hay generalidad se pierde sustitución racionales lados de lados enteros, estoy totalmente perdido en este caso. Me gustaría consejos solamente, tan pequeño como usted puede hacer. Me gustaría llegar a una solución por mi cuenta si es posible.

Answer 1

Supongo que me gustaría probar que representa el espacio recorrido por unidad de vectores en los cinco instrucciones pertinentes como $\mathbb Q$-vectorspace. Su dimensión debe ser $4$, por lo que no existe no trivial de la combinación lineal en el que se evalúa a cero (es decir, que cierra el pentágono), y los coeficientes para que la combinación lineal deben ser todos iguales, correspondiente a la unidad de longitud.

Detais (escondida dentro de un spoiler bloque, por lo que mover el ratón para leer):

Supongamos que el sistema de coordenadas está alineado de tal manera que uno de los bordes está orientado con el $x$ eje. Entonces los vectores de la unidad de longitud en sus cinco borde direcciones: $$\begin{align*}d_1&=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}&d_2&=\begin{pmatrix}\cos72°\\\sin72°\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt5-1}4\\[1ex]\sqrt{\frac{5+\sqrt5}8}\end{pmatrix}&d_3&=\begin{pmatrix}\cos144°\\\sin144°\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{-\sqrt5-1}4\\[1ex]\sqrt{\frac{5-\sqrt5}8}\end{pmatrix}\\&&d_5&=\begin{pmatrix}\cos72°\\-\sin72°\end{pmatrix}&d_4&=\begin{pmatrix}\cos144°\\-\sin144°\end{pmatrix}\end{align*}$$ Ahora usted puede elegir una base para sus cuatro dimensiones de la $\mathbb Q$-vectorspace. Una opción posible sería la siguiente: $$\begin{align*}b_1 &= \begin{pmatrix}\frac14\\[1ex]0\end{pmatrix} & b_2 &= \begin{pmatrix}\frac{\sqrt5}4\\[1ex]0\end{pmatrix} & b_3 &= \begin{pmatrix}0\\[1ex]\sin72°\end{pmatrix} & b_4 &= \begin{pmatrix}0\\[1ex]\sin144°\end{pmatrix}\end{align*}$$ Para demostrar que ellos son, de hecho, una base, usted tiene que demostrar que son linearily independiente sobre $\mathbb Q$. En otras palabras, sus coordenadas deben ser inconmensurables: \begin{equation*}\frac{\;\frac{\sqrt5}4\;}{\frac14} = \sqrt5 \not\in\mathbb Q\qquad\frac{\sin72°}{\sin144°} = \sqrt{\frac{5+\sqrt5}{5-\sqrt5}} = \sqrt{\frac{3+\sqrt5}{2}} = \frac{1+\sqrt5}{2} = \varphi \not\in\mathbb Q\end{ecuación*} Para que sean realmente independientes. Ahora podemos escribir nuestra dirección original vectores $d_i$ en términos de esta base, como las columnas de la siguiente matriz: \begin{equation*} M = $$\begin{pmatrix} 4 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$ \qquad \ker(M) = \operatorname{span} $$\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\end{pmatrix}$$ \end{ecuación*} Así que la única manera de agregar racional múltiplos de sus vectores de dirección de tal manera que la suma total es igual a cero (es decir, el polígono que describe, en realidad se cierra) es de la misma longitud en cada una de las direcciones. Que se traduce en un pentágono regular o regular de un pentagrama. Desde la declaración del problema habló acerca de un pentágono, supongo que se trata de un simple polígono sin auto-intersección. De modo que las normas de la estrella de cinco puntas caso.