Análisis armónico en el grupo linear especial real

Question

Me gustaría entender la teoría de la representación y generalizado de la transformada de Fourier de $SL(3, \mathbb{R})$ en tan concreto como sea posible. Mi objetivo final es desarrollar un algoritmo que puede realizar la transformada de Fourier de una forma discreta muestreados función de este grupo (o un espacio homogéneo, en el que se actúa), así que voy a necesitar fórmulas concretas para la Elección de la medida y de los elementos de la matriz de representaciones irreducibles.

De fondo

Por "generalizada de Fourier", me refiero a la expansión de una adecuada función regular $f : G \rightarrow \mathbb{R}$ en términos de elementos de la matriz de representaciones irreducibles. Deje $U^\lambda$ el valor unitario irreductible representación de $G$ sobre un espacio de Hilbert, entonces la transformada de Fourier se define como: $$ \hat{f}(\lambda) = \int_G f(g) U^\lambda(g^{-1}) d\mu(g) $$

Donde $\mu$ es el bi-invariante de la medida de Haar en $SL(3, \mathbb{R})$, que existe porque este grupo es semisimple y, por tanto, unimodular.

Para hacer que esto funcione, necesitamos saber lo que todo el IURs $U^\lambda$, y de los cuales no se necesitan con el fin de descomponer nuestra función $f$. La irreductible unitario de representaciones de semisimple grupos han sido clasificados, y resulta que el espectro (indexados por $\lambda$) contiene un discerete y la continuidad de una parte. Sin embargo, es mi entendimiento de que no todos los IURs aparecen en la descomposición de una función de espacio como $L^2(G)$. Knapp & Trapa escribir que:

Más o menos (pero no exactamente) los miembros de la central unitaria de doble [el conjunto de clases de equivalencia de IURs] que aparecen en $L^2(G)$ puede ser obtenida por un proceso llamado "inducción" que se inicia desde el discreto serie de ciertos reductora subgrupos de G.

Por lo tanto no todos los IURs son necesarias para descomponer $L^2(G)$.

Preguntas

1. ¿Cuál es la forma explícita de la medida de Haar en $SL(3, \mathbb{R})$ (en términos de algunos conveniente parametrización)?
2. Que IURs necesito con el fin de descomponer una función en $L^2(G)$? No estoy en esta función en particular, en el espacio, de modo que si el otro es más fácil siéntase libre de modificar la pregunta.
3. ¿Hay alguna explícita fórmulas conocidas para los elementos de la matriz de la correspondiente IURs? Lo que sobre la base de las funciones de representación irreducible espacios en $L^2(G)$?
4. Se sabe algo de los asymptotics de estas funciones? Esto es importante porque la IURs de $SL(3, \mathbb{R})$ son de dimensiones infinitas matrices, por lo que un algoritmo tendrá que elegir algunos de corte. Si las funciones de $U^\lambda_{mn}$ no se descomponen suficientemente rápido (o en todos) con $m,n$, que puede ser un sensacional.

Aunque estoy interesado en última instancia en fórmulas concretas, respuestas parciales, incluyendo referencias o algo abstracto afirmaciones acerca de la teoría de la representación y análisis de armónicos en este grupo son todavía muy apreciada.

Algunas fuentes relevantes de la que soy consciente, pero no han leído en su totalidad, sin embargo:

[1] Knapp, R. W., & Trapa, P. E. Representaciones de Lie Semisimple Grupos.

[2] Gel'fand, I. M., Graev, M. I., & Vilenkin, N. Y. (n.d.). Funciones Generales De Vol. 5: parte Integral de la Geometría y la Teoría de la Representación.

[3] Vilenkin, N. J., & Klimyk, A. U. (n.d.). La representación de la Mentira de los Grupos Especiales y Funciones - volumen 1: más Simple Mentira Grupos, Funciones Especiales y transformadas Integrales.

[4] Ehrenpreis, L., & Mautner, F. I. (n.d.). Algunas Propiedades de la transformada de Fourier en Semi-Simple Mentira Grupos I.

Answer 1

Antes de responder a sus preguntas, algunas observaciones sobre el programa:

Primero de todos, usted parece reunir un montón de peticiones en su auto :"desarrollo de un algoritmo que puede realizar la transformada de Fourier de una forma discreta muestreados función de este grupo (o un espacio homogéneo, en el que se actúa)" - estos son dos cosas muy diferentes, si el espacio homogéneo ha finito de volumen.

En segundo lugar, es necesario aclarar (no aquí, sino en su programa) ¿qué entiende usted por 'la realización de la FT en muestreados funciones". A medida que usted escribe en su post, el FT se lleva a $L^2(G)$ funciones de los operadores (distribuciones). Si y cuando dicha distribución se dio incluso localmente integrable funciones es un tema que tomó Harish-Chandra décadas para establecerse con su regularidad teorema. Cuando se forma la matriz coefficents, usted necesita decidir lo que el espacio de las funciones que se utilizará; afortunadamente no es una elección canónica (el espacio de Schwartz, voy a hablar de esto más adelante).

Ahora supongamos que tenemos una muestra de la misma función con la misma precisión que en la misma "red", pero mi red es simplemente inclinado un poco en un compacto de dirección. Espero que las distribuciones que resultan ser muy diferentes, a menos que su espacio de funciones de prueba es muy restringido.

Y aún peor: supongamos que tenemos una muestra de dos funciones diferentes en la misma cuadrícula y las muestras tienen los mismos valores (perfectamente posible con $L^2$ o incluso el suave funciones de recordar las particiones de la unidad). Entonces, ¿qué? La muestra se transforma serán idénticas y de reconstrucción a través de Plancherel (ver más abajo) no puede dar tanto a mi función y la de los tuyos. Usted puede decir: se va a dar a la función hasta algo de distorsión que se hace pequeño con la malla de la rejilla. Dudo que, por desgracia. Hay todo tipo de acotamiento problemas para estos inversa de los operadores, que no puede ser cierto en esta generalidad.

Lo que me hacen pensar que puede trabajar y es factible construir un algoritmo que al menos se descompone funciones en $C^\infty_c(K\ G/K)$ a través de la esférica transformada de Fourier. Esto simplifica las cosas mucho debido a las simetrías de las funciones esféricas (de corte hacia abajo en lo que usted necesita aproximado) y sigue siendo una buena y formidable proyecto. Además, en ese caso, el Paley-Wiener teorema puede ser utilizado como un volante para el algoritmo, si el último será algún procedimiento iterativo. Yo te daré las referencias para todas estas cosas en un poco.

Lo que usted está buscando es una explícita Plancherel fórmula para $\textrm{SL}(3,\mathbb{R})$. La mejor fuente para la Plancherel fórmula en el nivel que parecen estar cómodo es Varadarajan " Una introducción al Análisis Armónico en Semisimple Mentira de los Grupos. Es mucho ligher que Knapp del gran tratado (teoría de la Representación de lie semisimple grupos) y Wallach bastante completa de referencia (real reductora grupos), pero da a las representaciones y Plancherel en el caso de $\textrm{SL}(2,\mathbb{R})$ explícitamente, describe en detalle el proceso de inducción en parabólico subgrupos de sus discretos de la serie y también trata explícitamente el Plancherel fórmula para el complejo de los grupos; de hecho, yo recomiendo empezar por ahí: si no se puede hacer la aproximación en $\textrm{SL}(2,\mathbb{C})$ y, a continuación, $\textrm{SL}(3,\mathbb{C})$, va a ser desesperada para tratar de una manera mucho más complicado grupo como $\textrm{SL}(3,\mathbb{R})$. Varadarajan del libro también tiene detalles en todo lo demás que he mencionado hasta ahora.

Ahora para tus preguntas adecuadas:

1. Hay muchas maneras de descomponer la medida de Haar. El más común es el uso de la Iwasawa descomposición $G=KAN$ y escribir $dh= \delta^2(a) dk\,da\,dn$ donde $\delta^2$ proviene de modular la función de la Borel subgrupo de triangular superior matrices y se puede calcular por sí mismo, o encontrar en cualquier libro en la Mentira de los grupos en el caso de $\textrm{SL}(n)$, incluyendo Var. El capítulo 4.4. Tenga en cuenta que $dn$ es la medida de Lebesgue en un espacio homeomórficos a algunos $\mathbb{R}^n$ pero $dk$, la medida de Haar en el grupo compacto, todavía puede ser opaco. El tratamiento de la $K$-bi-invariante funciones como he sugerido anteriormente permite el uso de Weyl hermoso fórmulas de integración en grupos compactos; puede ser harto de ver a las funciones hiperbólicas, pero por lo menos son muy explícitos.

2. Las representaciones que entran en el espectro de medida son los llamados templado representaciones, y estos son exactamente los que ocurren en el Plancherel fórmula. El último es el medio por el cual invertir (en principio) las transformadas de Fourier de un bien se comportó de la función. Son discretos serie para el grupo (complicado) y la inducida por la representación discreta de la serie de Levi subgrupos de parabolics (estos son los principales de la serie). Usted puede encontrar todo esto en los Capítulos 3 y 4 de Varadarajan del libro.

3. Yo no lo creo. Incluso por la forma esférica de las funciones de la integral representaciones son la mejor vas a ganar, pero debería ser suficiente para la aproximación. Dado que la mayoría de las funciones especiales de análisis clásico ya aparecen como la matriz de coeficientes de irreps, tiene sentido que el último puede ser muy complicado y no se pueden expresar en forma cerrada.

4. No en general. Primero de todo, ahora debe restringir a cero significa que los vectores, las cosas como $L^2_0(G)$ para nada a la caries. En ese espacio, no, no hay ninguna buena descomposición propiedades en general (se pueden encontrar ejemplos en Howe-Tan, No abelian análisis armónico). Si se restringen a lisa, $K$-finito cero significa vectores, sí; su mejor apuesta es la de Schwartz de la clase, que se define, por ejemplo, en el Capítulo 8 de Varadarajan. Allí la matriz de coeficientes de templado representaciones de decaimiento exponencial en cualquier norma en el álgebra de la Mentira, es decir, como $e^{-C\|\log(g)\|}$. Mejor aún, su decaimiento propiedades son controlados por el $\Xi$ función, que es muy bien portado.

Por último, permítanme recapitular: intente $\textrm{SL}(2,\mathbb{C})$ primera. A continuación,$\textrm{SL}(2,\mathbb{R})$. Ya en el segundo caso se encontrará enormes problemas. El Plancherel fórmula se deriva explícitamente de Serge Lang libro $\textrm{SL}(2,\mathbb{R})$. Los insto a buscar el esférico transformar y centrarse en ese caso. Para el rango más alto de los casos, su mejor apuesta es de nuevo el esférico transformación y compleja $\textrm{SL}$, por lo que Varadarajan da un tratamiento explícito.