He estudiado siguientes definiciones de equivalente métrico de los espacios.
Dos de las métricas en un conjunto $X$ se dice que son equivalentes si y sólo si inducen la misma topología en $X$.
1: Dos metrices $d_1$ $d_2$ en espacio métrico $X$ son equivalentes si $d_1(x_n,x_0)\rightarrow 0 $ fib $d_2(x_n,x_0)\rightarrow 0 $.
2: se dice que d1 y d2 son equivalentes si existen constantes positivas $c$ $C$ tal que $c d_1(x, y)\leq d_2(x, y)\leq Cd_1(x, y)$ todos los $x, y \in X$.
Mis preguntas son las siguientes:
Hay otra definición de métricas de equivalente? Necesito una prueba de cómo estas condiciones son equivalentes?
¿Hay alguna conexión entre homeomorphism y la equivalencia de métrica espacios?
¿Cuáles son las propiedades comunes compartidos por el equivalente métrico de los espacios?
Estoy muy confundido con esto. Muy a menudo me encontré luchando por lo que la definición debería aplicarse para mostrar la equivalencia de la métrica determinada espacios. Necesito ayuda para despejar mis dudas.
Muchas gracias por ayudarme
