Ecuación con logaritmo en exponente

Question

¿Cómo de resuelve el siguiente ejercicio con un logaritmo? He olvidado el "truco" para hacerlo:

$x^{log_{10} x} =10^4$

Answer 1

Para empezar, tomar $\log_{10}$ de ambos lados para obtener:

$$\log_{10}(x)\log_{10}(x) = \log_{10}(10)^{4} = 4$$

Entonces sólo resolver $$(\log_{10}(x))^{2} = 4$ $

$$\implies \log_{10}x = \pm 2$$

Exponentiating ambos lados obtenemos:

$$x = 10^{2} = 100$ $ O

$$x = 10^{-2} = \frac{1}{100}$$

Answer 2

El truco: $a^b=e^{b\ln a}$. Aplicada a este problema: $$x^{\log_{10}x}=e^{\ln x \log_{10}x}=e^{\ln x \frac{\ln x}{\ln 10}}=e^{(\ln x)^2/(\ln 10)}$ $

En el otro mano $10^4=e^{4\ln 10}$, así que podríamos tomar el log de ambos lados para obtener $$\frac{(\ln x)^2}{\ln 10}=4\ln 10$ $

Cross-Multiply, tomar la raíz cuadrada, exponentiate, y listo.

Answer 3

$x^{\log_{10} x} = 10^{\log_{10}x\log_{10}x }=10^4$

Así $\log_{10}x=\pm 2$ y se sigue que tanto $x=100$ o $x=0.01$ resolver la ecuación.