Cómo encontrar las inversiones de matrices 3 x 3

Question

¿Existe una forma de encontrar la inversa de un $3 \times 3$ sin formar una matriz aumentada con la matriz identidad? Además, ¿hay una forma rápida de comprobar que una $3 \times 3$ existe la inversa de la matriz, sin intentar calcularla? Gracias.

Answer 1

Empezando por un $3\times 3$ matriz $$ A=\left(\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}\right) $$ 1. Comprueba que la matriz es invertible. Primero tenemos que comprobar que realmente podemos invertir la matriz. Esto equivale a demostrar que su determinante es distinto de cero. $$ \det A=a\det\left(\begin{matrix}e & f \\ h & i\end{matrix}\right)-b\det\left(\begin{matrix}d & f \\ g & i\end{matrix}\right)+c\det\left(\begin{matrix}d & e \\ g & h\end{matrix}\right) $$ 2. Encuentra los cofactores de la matriz. Para cada uno de los $(i,j)$ -entradas de la matriz $A$ denotamos el cofactor $C_{ij}$ por $(-1)^{i+j}M_{ij}$ , donde $M_{ij}$ es el determinante del $2\times 2$ matriz obtenida de $A$ eliminando el $i$ -y la $j$ -Columna de la derecha. Por ejemplo $$ M_{23}=\det\left(\begin{matrix} a & b & - \\ - & - & - \\ g & h & - \end{matrix}\right) =\det\left(\begin{matrix}a & b \\ g & h\end{matrix}\right)=ah-bg $$ Así que $C_{23}=(-1)^{2+3}(ah-bg)=bg-ah$ .

3. Encuentra la matriz adyacente. Después de encontrar todos los cofactores, el adjunto de $A$ es $$ \text{adj }A=\left(\begin{matrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{matrix}\right)^T=\left(\begin{matrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{matrix}\right) $$ Es decir, haces una matriz con los cofactores y luego transpones la matriz.

4. ¡Hemos terminado! Finalmente, podemos escribir la inversa como $$ A^{-1}=\frac{1}{\det A}\text{adj }A $$

Answer 2

Pasos para encontrar la inversa

1. Encontrar el determinante de $3\times 3$ Matriz

2. Encuentre a los menores

3. Encontrar Cofactor

4. Encontrar el adjunto

5. Reemplazar los resultados en la siguiente fórmula

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A)$

Como usted no conoce estos términos, permítame primero definirlos para usted.

Si A es una matriz cuadrada, $(3\times 3)$ por ejemplo, entonces el menor de entrada $a_{ij}$ , denotado por $A_{ij}$ se define como el determinante de la submatriz que queda después de la $i$ la fila y $j$ se eliminan de A. El número $(-1)^{i+j} A_{ij}$ , denotado por $C_{ij}$ y se denomina cofactor de entrada $a_{ij}$ .

Es necesario formar la matriz de cofactores dada como

$C = \left( \begin{array}{ccc} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \\ \end{array} \right)$

Para encontrar el adjunto de una matriz denotada por $adj(A)$ , sólo hay que transponer el cofactor matriz.

Este enlace le ayudará a entenderlo

Answer 3

Para comprobar la invertibilidad, se calcula un determinante. Si es cero, la matriz no es invertible.

Compruebe aquí wiki , sección "Solución analítica".