Tengo algunas dificultades para demostrar que la imagen de la función $f:\,\mathbb P^1\longrightarrow\mathbb P^3$ tal que $$(u,v)\longmapsto (u^3,\,u^2v,\,uv^2,\,v^3)$ $ es la algebraica proyectiva conjunto $$V(XT-YZ,\, Y^2-XZ,\,Z^2-YT)$ $ claramente tengo problema para demostrar que el conjunto proyectivo algebraico está contenido en la imagen de $f$. En particular "para resolver brutalmente" el sistema polinomial estoy perdiendo mi mente en los cálculos, así que espero que es un método más simple.
Respuesta
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Cada punto de $V=V(XT-YZ,\, Y^2-XZ,\,Z^2-YT)$ es en al menos uno de los cuatro ejemplares estándar de $\mathbb A^3$ espacios afines cubriendo $\mathbb P^3$. Así que compruébelos sucesivamente. Voy a hacer la parte de $T=1$.
Cuando $T=1$ $V$ se da por $$x=yz, \: y^2=xz,\: z^2=y$ $ pero luego un $(x,y,z)=[x:y:z:1] \in V $ satisface estas ecuaciones es simplemente la imagen bajo $f$ $[u:v]=[z:1]\in \mathbb P^1 $, desde las primeras y terceros ecuaciones muestra $V$ inmediatamente implica que $x=yz=z^2.z=z^3$
