¿Qué cambiaría en matemáticas si sabíamos $\pi+e$ es racional?

Question

Es bien sabido que no hay ninguna conclusión ahora si $\pi+e$ es racional o no. ¿Qué pasaría si supiéramos que $\pi+e$ es racional? Específicamente, existen abiertos relacionados a problemas que se resuelven?

Answer 1

Este es un comentario que es demasiado largo para el formato habitual. Si $\alpha=e+\pi$ puede ser escrito como una fracción de números enteros, tanto el numerador y el denominador debe ser $\geq 2 \times 10^{32}$. Para ver esto, vamos a $A,B,C,D$ ser números enteros definidos por

$$ \begin{array}{lcl} A &=& 3063742572717320569341511991159738 \\ B &=& 522834163445445988434458010516405 \\ C &=& 9765222175513935643148512770417523 \\ D &=& 1666455861030599542832067804101203 \\ \end{array} $$

Entonces cualquier buena formal de computación sistema le confirmará que $\frac{A}{B} < \alpha < \frac{C}{D}$ $BC-AD=1$ . Si $\alpha$ es racional, $\alpha=\frac{p}{q}$$p,q \in {\mathbb N}_{>0}$, a continuación, $u=pB-qA$ $v=qC-pD$ deben ser enteros positivos. Pero, a continuación, $p=Cu+Av\geq A+C \geq 2\times 10^{32}$ , y del mismo modo $q=Du+Bv\geq B+D \geq 2\times 10^{32}$.

Answer 2

Esto implicaría, en particular, que $e$ es un período, que se conjecturally no lo es. Hay profundas razones por las $e$, se conjetura no ser un período, derivadas, (creo) de Deligne la teoría de la motivic pesos. Recomiendo echar un vistazo a Kontsevitch y Zagier fantástico artículo Períodos.