Declaración de
Deje $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ser una función es cóncava hacia arriba y en aumento. Si $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=0$, $f$ es constante.
Va a ser fácil si asumimos $f$ es el segundo diferenciable, las condiciones que acabamos de decir $f''(x)\geq 0$$f'(x)\geq 0$. (Si $f'(x)=a>0$ $x=b$ $x>b$ tenemos $f(x)>a(x-b)+f(b)$ por MVT y claramente en este caso el límite no puede ser $0$ y, por tanto, $f'(x)$ se $0$ en todas partes).
Puede que esta declaración se demostró sin asumiendo $f$ diferenciable? Aquí cóncava hacia arriba se define para cualquier $x,y\in \mathbb{R}$, $t\in [0,1]$, $f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)$. El aumento se define por $y>x\Rightarrow f(y)\geq f(x)$.
El contexto de este problema: Si la declaración se demuestra, entonces la solución en el hilo de Cómo probar el teorema de Liouville para los subarmónicos funciones dadas por Martin R puede ser extendido a probar una versión más fuerte del resultado (véase mi comentario en la respuesta).
