¿Cómo encontrar el valor mínimo de esta función?

Question

Cómo encontrar el valor mínimo de$$\frac{x}{3y^2+3z^2+3yz+1}+\frac{y}{3x^2+3z^2+3xz+1}+\frac{z}{3x^2+3y^2+3xy+1}$$,where $ x, y, z \ geq 0$ and $ x y z = 1 $.

Parece ser difícil si utilizamos métodos de cálculo. ¿Hay otro método? No tengo idea. Gracias.

Answer 1

Esto es de nuevo una cuestión de la simetría del tipo, tal como aparece en:

• ¿Por qué el Grupo de Teoría de no venir aquí?

Con una restricción $\;x+y+z=1\;$$\;x,y,z > 0$ . Tipo de un método general para transformar esa restricción en el interior de un triángulo en 2-D ha sido explicado en detalle en:

• Cómo probar esta desigualdad $(a^2+bc^4)(b^2+ca^4)(c^2+ab^4) \leq 64$

El de arriba preliminares se completa con:

• Hacer simétrica de los problemas tienen soluciones simétricas?

Desde el último artículo trata de los siguientes
Teorema (El Purkiss Principio). Deje $f$ $g$ ser simétrica funciones continuo con el segundo de los derivados en la vecindad de un punto de $P = (r, \cdots, r)$. En el conjunto donde $g$ es igual a $g(P)$, la función de $f$ tendrá un máximo local o un mínimo en$P$, excepto en los casos degenerados.

• Imagen de la izquierda: la geometría de las condiciones de $\;x,y,z > 0\;$$\;x+y+z=1$ .
• La imagen de la derecha: líneas de contorno de $f(x,y,z)$ , como se ve en el plano de la $\color{red}{red}$ triángulo, están en $20$ equidistante de los niveles, entre el mínimo y el máximo, como se encuentra dentro de la ventanilla

Nuestra función $f$ en este caso es: $$ f(x,y,z) = \frac{x}{3y^2+3z^2+3yz+1}+\frac{y}{3x^2+3z^2+3xz+1}+\frac{z}{3x^2+3y^2+3xy+1} $$ La aplicación de la Purkiss Principio da: $$ g(r,r,r)=r+r+r=1 \quad \Longrightarrow \quad r=\frac{1}{3} \quad \Longrightarrow \quad f(r,r,r) = \frac{1}{2} $$ El principal problema con el Purkiss Principio, la mayoría del tiempo, es la de demostrar que la extrema encontrado es global. O, al menos, global suficiente , es decir, un absoluto extrema dentro de nuestro ($\color{red}{red}$) del triángulo. En nuestro caso, la función se convertirá en menos de $1/2$, es decir cerca de cero, por $\;|x|,|y|,|z|\rightarrow \infty$ . Entonces, es claro que la Purkiss Principio es "violada", fuera del triángulo, al menos. Estas regiones, donde $\;f(x,y,z)\;$ es menos que, digamos, $1/2 + 0.001$ , son de color $\color{blue}{blue}$ en la imagen de la derecha.
El $\color{blue}{blue\, spot}$ en la imagen de la derecha es una prueba sin palabras que la única mínimo en el interior de un triángulo es (de hecho $= 1/2$ ) y en su centro $(x,y,z) = (1/3,1/3,1/3)$ . Este acabado es, pues, una informal prueba (: descargo de responsabilidad).

Actualización : un par de detalles más.

• Los valores de la función cerca de la ventanilla mínimo son blancos
• Los valores de la función cerca de la ventanilla del máximo son de color negro
• Contorno gris los valores son justo al revés
• Los valores de la función en los vértices del triángulo $=1$ (negro)
• Los valores de la función en el borde de los centros del triángulo $=4/7$

Answer 2

Para encontrar un mínimo de la función que voy a encontrar un límite inferior y mostrar que el límite inferior es alcanzado. Para que voy a usar nada más que de Cauchy-Schwarz desigualdad.

Deje $f(x, y, z)$ indican su función. Utilizando mencionado de Cauchy-Schwarz desigualdad obtenemos: $$f(x, y, z)\cdot\big(x(3y^2+3z^2+3yz+1) + y(3x^2+3z^2+3xz+1) + z(3x^2+3y^2+3xy+1)\big) \\ \geqslant (x+y+z)^2 = 1.$$

Así, $$f(x, y, z) \geqslant \frac{1}{3(xy^2 + xz^2 + yx^2 + yz^2 + zx^2 + zy^2 + 3xyz) + x+y+z} \\ =\frac{1}{3(x+y+z)(xy+yz+xz) + 1} = \frac{1}{3(xy+yz+xz) + 1}$$

Queremos una cota superior de a $xy + yz + xz$ bajo la condición de $x + y + z = 1$. Podemos hacer esto, por ejemplo: $$\begin{align} xy + yz + xz &\leqslant x^2 + y^2 + z^2 \\ 3(xy + yz + xz) &\leqslant (x + y + z)^2 = 1 \\ xy + yz + xz &\leqslant \frac{1}{3} \end{align}$$

Finalmente, $f(x, y, z) \geqslant \dfrac{1}{3\cdot\frac{1}{3} + 1} = \dfrac{1}{2}.$ $\dfrac{1}{2}$ Es el límite inferior.
Desde $\displaystyle f\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$, podemos ver que hemos encontrado un punto donde el límite inferior es alcanzado por lo que este es el mínimo de la función.

Answer 3

Utilicé alfa de wolfram: http://goo.gl/Cjzigc

Parece que el min está en$(1/3,1/3,1/3)$.

Answer 4

$\textbf{Hint:}$ Esto no es difícil de usar métodos de cálculo, puede utilizar Multiplicadores de Lagrange.

En pocas palabras dice que, para encontrar el máximo y el mínimo valor de $f(x,y,z)$ $g(x,y,z)=k$ encontrar todos los $x,y,z$ $\lambda$ tal forma que:

$$\begin{cases} \nabla f(x,y,z) = \lambda \nabla g(x,y,z) \\g(x,y,z) = k \end{cases}$$

Luego de evaluar $f$ en dichos puntos, el máximo valor que se obtiene es el valor máximo de la función, el valor mínimo que se obtiene es el valor mínimo de la función.

Recuerde que $\nabla f(x,y,z) = (f_x,f_y,f_z)$.

Casi siempre la "difícil" parte de los problemas que implican Multiplicadores de Lagrange es resolver el sistema anterior, que no parece ser el caso en este ejemplo.