Probabilidad de que$A \cup B$ = S y$A \cap B = \phi $

Question

Vamos$S$ ser un conjunto que contiene$n$ elementos y seleccionamos dos subconjuntos:$A$ y$B$ #% ¿es?

Mi intento

Número total de casos =$A \cup B$ como cada elemento del conjunto$A \cap B = \varnothing $ tiene tres opciones: Ir a$3^n$ or$S$ #%

Para los casos favorables: Cada elemento tiene dos opciones: Vaya a$A$ o al$B$ que da$A$ casos favorables.

¿Es correcto mi enfoque?

Answer 1

Escoja cualquier subconjunto$A$, y solo hay un subconjunto$B$, es decir$S \setminus A$ que satisface$A \cup B = S$ y$A \cap B = \emptyset $.

Hay$2^n$ subconjuntos para elegir, de modo que la probabilidad de seleccionar tal par es$1/2^n$.

(O,$1/(2^n - 1)$ si se restringe ese$A \ne B$).

Answer 2

Suponiendo que te refieres a que $A$ $B$ son recogidos de forma independiente y uniformemente al azar.

Edit: a continuación, estoy respondiendo a dos preguntas diferentes. Supongo que, después de leer el tuyo con cuidado, que lo que pretende es la segunda.

Primera interpretación de la pregunta: "encontrar a $\Pr[A\cap B=\emptyset]$$\Pr[A\cup B=S]$"

Considere un elemento fijo $s\in S$. La probabilidad de que pertenece a ni $A$ ni $B$ es $$ \Pr[s\noen Un \text{ y }\noen B] = \Pr[s\noen Un]\cdot \Pr[s\noen B] = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{4} $$ donde hemos utilizado la independencia de la primera igualdad. Tenemos $A\cup B = S$ si, y sólo si, todos los elementos que pertenecen al menos a uno de $A$$B$, que en el anterior sucede para cada elemento fijo $s$ con una probabilidad de $1-\frac{1}{4}$. De nuevo por la independencia, esto se traduce en $$ \Pr[ A\cup B= S] = \Pr[\forall s,\ s\in A\cup B] = \prod_{s\in S} \Pr[s\in A\cup B] = \left(\frac{3}{4}\right)^n. $$

Del mismo modo, la probabilidad de que un determinado elemento fijo $s\in S$ pertenece a $A\cap B$ puede ser demostrado ser $\frac{1}{4}$. La probabilidad de que ningún elemento termina en $A\cap B$ es entonces $$ \Pr[ A\cap B=\emptyset] = \prod_{s\in S}\Pr[ s\noen A\cap B] = \prod_{s\in S}\left(1-\Pr[ s\in A\cap B]\right) = \left(1-\frac{1}{4}\right)^n=\left(\frac{3}{4}\right)^n. $$

Segunda interpretación: "encontrar a $\Pr[A\cap B=\emptyset \text{ and } A\cup B=S]$"

Esto es similar al método anterior. Arreglar cualquier elemento $s\in S$: la probabilidad de que $s$ termina en exactamente uno de $A$ $B$ es $$\begin{align} \Pr[ ( s\in A \text{ and } s\notin B ) \text{ or } ( s\notin A \text{ and } s\in B ) ] &=\Pr[s\in A \text{ and } s\notin B] + \Pr[s\notin A \text{ and } s\in B]\\ &=\Pr[s\in A]\cdot\Pr[s\notin B] + \Pr[s\notin A]\cdot\Pr[s\in B]\\ &=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} =\frac{1}{2} \end{align}$$ así que la probabilidad de que usted quiere es $$\begin{align} \Pr[ \forall s\in S,\ ( s\in A \text{ and } s\notin B ) \text{ or } ( s\notin A \text{ and } s\in B ) ] &=\prod_{s\in S }\Pr[ ( s\in A \text{ and } s\notin B ) \text{ or } ( s\notin A \text{ and } s\in B ) ]\\ &=\left(\frac{1}{2}\right)^n \end{align}$$

Answer 3

La idea es buena, pero el número total de casos no es$3^n$.

Supongamos que los subconjuntos se eligen independientemente, con todos los pares de subconjuntos igualmente probable. Entonces en efecto para cada elemento de$S$ volteamos una moneda justa dos veces. Si el resultado es head, head, el elemento termina en$A$ y$B$. Si el resultado es cabeza, cola, el elemento termina en$A$ pero no en$B$. Y así. Así que hay$4^n$ posibilidades igualmente probables.

Answer 4

Vamos$\Sigma = \{(A,B) | A,B \subset S \}$, vemos que$|\Sigma| = 2^n 2^n = 4^n$. Estoy asumiendo que cada par$(A,B)$ es equipropable.

Dejar $C_1 = \{(A,B)| A \cup B = S \}$.

Los conjuntos$E_A = \{(A,B)| A \cup B = S \} = \{(A,B)| A^c \subset B \}$ forman una partición de$C_1$ y vemos que$|E_A| = 2^{|A|}$, ya que$B$ debe ser de la forma$B=A^c \cup D$ Y el número de tal$D \subset A$ es$D$.

Por lo tanto$2^{|A|}$, y por lo tanto$|C_1| = \sum_{A \subset S} 2^{|A|} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 2^k = 3^n$

Dejar $p C_1 = ({3 \over 4})^n$.

Los conjuntos$C_2 = \{(A,B)| A \cap B = \emptyset \} $ forman una partición de$F_A = \{(A,B)| A \cap B = \emptyset \} = \{(A,B)| B\subset A^c \}$ y vemos que$C_2$, ya que$|F_A| = 2^{n-|A|}$.

Por lo tanto$|A^c| = n-|A|$, y por lo tanto$|C_2| = \sum_{A \subset S} 2^{n-|A|} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 2^{n-k} = 3^n$

Answer 5

Derecho siento que tengo un momento libre de nuevo... El número de "éxito" de los resultados es el número de maneras de componer dos conjuntos disjuntos cuya unión es exhaustiva sobre $S$. La probabilidad es que dividido por el número total de formas de distribución de los elementos de a, B, a Y B, o ni - lo que da a $4^n$ total de resultados posibles.

Una partición en dos mutuamente disjuntas conjuntos enumerados por el juego de poder en la selección de Una, con un único correspondiente B para cada Una define como el complemento de A.

Por lo tanto la respuesta es $2^n/4^n = 1/2^n$.