Determinación de los coeficientes de un polinomio de grado finito $f$ de la Secuencia $\{f(k)\}_{k \in \mathbb{N}}$

Question

Supongamos que $f$ es un polinomio desconocido de grado $n$ (en una indeterminada) pero la secuencia $\{ f(k) \}_{k \in \mathbb{N}}$ se da. Es un buen ejercicio para demostrar que sólo se necesita la primera $n+1$ términos de la secuencia para determinar los coeficientes de $f$ . Es decir, basta con resolver la ecuación matricial $A\mathbf{x} = b$ , donde $\mathbf{b} = (f(0), \dots, f(n))^{\top}$ , $A$ es la matriz de Vandermonde de $(i^{j})_{i,j = 0, \dots, n}$ y $\mathbf{x} = (c_{0}, \dots, c_{n})^{\top}$ (los coeficientes desconocidos de $f$ ).

Pregunta : ¿Existe una expresión de forma cerrada para los coeficientes de un polinomio de grado finito $f$ en términos de la secuencia $\{ f(k) \}_{k \in \mathbb{N}}$ que no implique la inversión de la matriz o la diferenciación o el cálculo explícito del polinomio en cuestión?

( Motivación ) El polinomio de Ehrhart cuenta el número de puntos enteros de la red que intersecan una dilatación de un politopo y puede calcularse mediante el residuo de una función racional compleja asociada (véanse los artículos de M. Beck sobre el tema). Algunos de los coeficientes del polinomio de Ehrhart pueden relacionarse con un $n$ -volumen, un área relativa y la característica de euler de dicho politopo. Sin embargo, calcular los coeficientes del polinomio de Ehrhart no es una tarea especialmente fácil. Sería bueno disponer de fórmulas sencillas para ellos, por ejemplo en términos de los residuos anteriores. Un punto de partida razonable es responder a la pregunta anterior.

Gracias.

Answer 1

Sí; puedes tomar diferencias finitas . Sea $\Delta f(x) = f(x+1) - f(x)$ .

Teorema: $$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \Delta^k f(0) {x \choose k}$$

donde ${x \choose k}$ es el polinomio $\frac{x(x-1)...(x-(k-1))}{k!}$ .

Prueba. Observe que $\Delta {x \choose k} = {x \choose k-1}$ . Tome $k$ diferencias finitas de ambos lados y establecer $x = 0$ .

En la práctica, esto significa que se puede calcular lo que $f$ es escribiendo una tabla de diferencias finitas. Esto es realmente fácil de hacer a mano, y luego la fila superior de la tabla te dice cuáles son los coeficientes $\Delta^k f(0)$ están por encima. En términos de álgebra lineal, lo que estamos haciendo es utilizar una base con respecto a la cual la matriz $A$ es triangular superior, y esto facilita mucho la vida.

También se conoce una fórmula explícita para la inversa de $A$ que equivale a la Fórmula de interpolación de Lagrange . Esto es útil a veces por razones teóricas (por ejemplo, como forma de controlar el comportamiento del polinomio de interpolación o para deducir ciertas identidades).

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Se puede extraer una "forma cerrada" para los coeficientes de $f$ utilizando cualquiera de los dos métodos anteriores, aunque creo que utilizar las diferencias finitas es ligeramente más agradable. Tenemos

$${x \choose k} = \frac{1}{k!} \sum_{i=0}^{k} s(k, i) x^i$$

donde $s(k, i)$ son los Números Stirling del primer tipo . Esto da

$$[x^i] f(x) = \sum_{k=i}^{n} \Delta^k f(0) \frac{s(k, i)}{k!}$$

donde

$$\Delta^k f(0) = \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j} {k \choose j} f(j).$$

Así que $[x^i] f(x) = \sum_{j=0}^{n} a_{i,j} f(j)$ donde

$$a_{i,j} = \sum_{k=j}^{n} (-1)^{k-j} {k \choose j} \frac{s(k, i)}{k!}.$$

No sé si esta suma se puede simplificar más.