Producto de puntos en coordenadas

Question

El producto de puntos de dos vectores en el plano puede definirse como el producto de las longitudes de esos vectores y el coseno del ángulo entre ellos.

En coordenadas cartesianas producto punto de vectores con coordenadas $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ es igual a $x_1x_2 + y_1y_2$ .

¿Cómo demostrarlo?

Answer 1

Supongo que quieres demostrar que dos de tus definiciones de producto punto son iguales. Comenzamos con la definición de producto punto como $(\vec{u}, \vec{v}) = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta$ . Comenzamos con la definición del producto punto como $(\vec{u}, \vec{v}) = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta$ y demostrar que también satisface $(\vec{u}, \vec{v}) = x_1 x_2 + y_1 y_2$ .

Al principio se puede demostrar que el producto punto es lineal: $(\vec{v_1}, \vec{v_2} + \alpha \vec{v_3}) = (\vec{v_1}, \vec{v_2}) + \alpha (\vec{v_1}, \vec{v_3})$ . Esto es cierto porque $(\vec{v_1}, \vec{v_2})$ es igual al producto de $|\vec{v_1}|$ y la proyección de $\vec{v_2}$ en $\vec{v_1}$ . La proyección de la suma de vectores es igual a la suma de proyecciones. Por lo tanto, el producto punto es lineal.

Dejemos que $\vec{e_1}$ y $\vec{e_2}$ sean vectores con coordenadas $(1, 0)$ y $(0, 1)$ .

Después de eso, si $\vec{v_1} = x_1 \vec{e_1} + y_1 \vec{e_2}$ y $\vec{v_2} = x_2 \vec{e_2} + y_2 \vec{e_2}$ entonces por linealidad del producto punto tenemos $(\vec{v_1}, \vec{v_2}) = x_1 x_2 (\vec{e_1}, \vec{e_1}) + x_1 y_2 (\vec{e_1}, \vec{e_2}) + x_2 y_1 (\vec{e_2}, \vec{e_1}) + x_2 y_2 (\vec{e_2}, \vec{e_2})$ . Desde $(\vec{e_1}, \vec{e_1}) = (\vec{e_2}, \vec{e_2}) = 1$ y $(\vec{e_1}, \vec{e_2}) = (\vec{e_2}, \vec{e_1}) = 0$ tenemos $(\vec{v_1}, \vec{v_2}) = x_1 x_2 + y_1 y_2$ .

Answer 2

El producto punto es invariante bajo rotaciones, por lo que podemos rotar nuestro sistema de coordenadas de manera que v esté a lo largo del eje x. En este caso, $v = (|v|, 0)$ . Dejar $w = (x,y)$ tenemos (utilizando la definición de producto punto en coordenadas cartesianas) $v \cdot w = |v| x$ . Pero, ¿qué es $x$ ? Bueno, si dibujas el cuadro y dejas que $\theta$ sea el ángulo entre v y w, entonces vemos que $\cos \theta = x/|w||$ para que $x = |w| \cos \theta$ . Así, $v\cdot w = |v||w| \cos \theta$ .