Hilbert Schmidt Norma-Rango-desigualdad

Question

Problema:

Deje $A_{n.n}$ plaza de la complejidad de la matriz. Probar lo siguiente: $$\left \| A \right \|=\left \| A \right \|_{HS}\Leftrightarrow rank(A)\leqslant 1$$. Where $\a la izquierda \| . \right \|_{HS} $ es la de Hilbert Schmidt Norma.

Por favor, lea mi solución y me diga si es correcto. Si no, me avisas donde el error es.

Prueba de la implicación $\Leftarrow $:

• Si $rank(A)=0$, entonces en este caso $A=0$. De ello se desprende que $\left \| A \right \|=\left \| A \right \|_{HS}=0$
• Si $rank(A)=1$, de: $ A=\begin{pmatrix} A_{1}\\ \alpha _{2}A_{1}\\ ...\\ \alpha _{n}A_{1} \end{pmatrix}$ where $A_{1}$ is the first row of $$

y en este caso: $\left \| A \right \|=\left \| A \right \|_{HS}=\left \| A_{1} \right \|\sqrt{1+\alpha _{1}^{2}+...+\alpha _{n}^{2}}$

Prueba de la implicación $\Rightarrow $

Sabemos que $\left \| A \right \|=max_{\left \| x \right \|=1}\left \| Ax \right \|$

Por otro lado: $ A=\begin{pmatrix} A_{1}\\ A_{2}\\ ... \\ A_{n} \end{pmatrix}$. So, $$\left \| Ax \right \|=\left \| \begin{pmatrix} \left \langle A_{1},x \right \rangle\\ \left \langle A_{2},x \right \rangle\\ ...\\ \left \langle A_{n},x \right \rangle\end{pmatrix} \right \|=\sqrt{\left \langle A_{1},x \right \rangle^{2}+\left \langle A_{2},x \right \rangle^{2}+...+\left \langle A_{n},x \right \rangle^{2}} $$

Donde $ \left \langle A_{i},x \right \rangle$ is the inner product of $A_{i}$ and $x$

El uso de la de Cauchy-Schwarz desigualdad: $\left \langle A_{i},x \right \rangle^{2}\leq \left \| A_{i} \right \|^{2}\left \| x \right \|^{2}$, obtenemos: $\left \| A \right \|=max_{\left \| x \right \|=1}\left \| Ax \right \|\leq max_{\left \| x \right \|=1}\left \| x \right \|\left \| A \right \|_{HS}=\left \| A \right \|_{HS}$. Con el fin de tener la igualdad: $\left \| A \right \|=\left \| A \right \|_{HS}$, debemos tener: $\left \langle A_{i},x \right \rangle^{2}=\left \| A_{i} \right \|^{2}\left \| x \right \|^{2} $ which occurs only if $A_{i}=\lambda _{i} x$. So, the rows of A are dependent, which implies that $rango(A)=1$. Note that the case $rango(A)=0$ happens when $A=0$

Por favor, hágamelo saber si mi solución tiene sentido.

Answer 1

Supongo que conoces la propiedad que$\|A\|_{HS}$ es la raíz cuadrada de la suma de todos los valores de los valores singulares$A$ y$\|A\|$ es la más grande. El rango de una matriz es el número de sus valores singulares no cero. Con estos hechos, es obvio entonces.