¿Se puede visualizar algo como$\text{Hom}(V,K)$?

Question

No tengo problemas en la visualización de espacios vectoriales como $\Bbb R^3$ y (por ejemplo) un subespacio de dimensión $2$, que sería un plano que pasa por el origen de una $3$-D espacio, pero estoy teniendo problemas para visualizar algo como "$W°$ es un subespacio de $V^*$" cuando se sabe que:

$V$ es un espacio vectorial,
$W$ es un subespacio de $V$,
$W°:=\{f\in V^*:W\subseteq \ker f\}$,
$V^*=\operatorname{Hom}_{_K}(V,K)$.

Incluso visualizar $V^*$ es algo que no entiendo: es una colección de funciones; así que ¿cómo puede ser un espacio vectorial? Tengo la prueba, y yo lo entiendo, pero parece imposible intuitivamente "ver" las cosas como esa. Es incluso posible?

Answer 1

Desde $V^*$ es la inicial de espacio vectorial equipado con un homomorphism $V^* \otimes V \to K$, la pregunta está estrechamente conectado a esta pregunta sobre geométrica de imágenes de tensor de productos. Pero también tiene ninguna respuesta todavía.

Yo sugeriría lo siguiente: Si $K=\mathbb{R}$ $V$ es finito-dimensional espacio vectorial equipado con un producto interior $\langle-,- \rangle$ (por ejemplo, $V=\mathbb{R}^n$ con el producto estándar), entonces podemos identificar a $V^*$ canónicamente con $V$ través $v \mapsto \langle v,-\rangle$. La operación $W \mapsto W^o$ corresponde al complemento ortogonal $W \mapsto W^{\perp}$, por lo que tenemos una buena imagen geométrica. Tenemos $W \subseteq W'$ fib $W'^\perp \subseteq W^\perp$, e $\dim(W^\perp)=\dim(V)-\dim(W)$. Por lo tanto, $\langle -,- \rangle$ hace posible la definición de un "interior de la dualidad" de $V$ en el sentido de que $V$ se convierte en doble a itsself. Por ejemplo, las líneas corresponden a hyperplanes.

Si $K$ es arbitrario y $V$ es finito-dimensional espacio vectorial sobre $K$, entonces no tenemos canónica de la dualidad entre el $V$ y itsself. Pero $V$ es dual a otro espacio vectorial, es decir, su doble espacio vectorial $V^*$ (esto también motiva a la terminología). Por lo tanto, no es un no-degenerada forma bilineal $V^* \times V \to K$, es decir, $(\omega,v) \mapsto \omega(v)$ cuando se construye $V^*$$\hom_K(V,K)$. Para $W \subseteq V$ todavía podemos definir el complemento ortogonal $W^\perp \subseteq V^*$ con respecto a este formulario. Estos complementos ortogonales se comportan como el anterior. Por lo tanto podemos usar nuestra intuición geométrica del producto interior caso.