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¿Se puede visualizar algo comoHom(V,K)?

No tengo problemas en la visualización de espacios vectoriales como R3 y (por ejemplo) un subespacio de dimensión 2, que sería un plano que pasa por el origen de una 3-D espacio, pero estoy teniendo problemas para visualizar algo como " es un subespacio de V^*" cuando se sabe que:

V es un espacio vectorial,
W es un subespacio de V,
W°:=\{f\in V^*:W\subseteq \ker f\},
V^*=\operatorname{Hom}_{_K}(V,K).

Incluso visualizar V^* es algo que no entiendo: es una colección de funciones; así que ¿cómo puede ser un espacio vectorial? Tengo la prueba, y yo lo entiendo, pero parece imposible intuitivamente "ver" las cosas como esa. Es incluso posible?

3voto

Jeff Puntos 804

Desde V^* es la inicial de espacio vectorial equipado con un homomorphism V^* \otimes V \to K, la pregunta está estrechamente conectado a esta pregunta sobre geométrica de imágenes de tensor de productos. Pero también tiene ninguna respuesta todavía.

Yo sugeriría lo siguiente: Si K=\mathbb{R} V es finito-dimensional espacio vectorial equipado con un producto interior \langle-,- \rangle (por ejemplo, V=\mathbb{R}^n con el producto estándar), entonces podemos identificar a V^* canónicamente con V través v \mapsto \langle v,-\rangle. La operación W \mapsto W^o corresponde al complemento ortogonal W \mapsto W^{\perp}, por lo que tenemos una buena imagen geométrica. Tenemos W \subseteq W' fib W'^\perp \subseteq W^\perp, e \dim(W^\perp)=\dim(V)-\dim(W). Por lo tanto, \langle -,- \rangle hace posible la definición de un "interior de la dualidad" de V en el sentido de que V se convierte en doble a itsself. Por ejemplo, las líneas corresponden a hyperplanes.

Si K es arbitrario y V es finito-dimensional espacio vectorial sobre K, entonces no tenemos canónica de la dualidad entre el V y itsself. Pero V es dual a otro espacio vectorial, es decir, su doble espacio vectorial V^* (esto también motiva a la terminología). Por lo tanto, no es un no-degenerada forma bilineal V^* \times V \to K, es decir, (\omega,v) \mapsto \omega(v) cuando se construye V^*\hom_K(V,K). Para W \subseteq V todavía podemos definir el complemento ortogonal W^\perp \subseteq V^* con respecto a este formulario. Estos complementos ortogonales se comportan como el anterior. Por lo tanto podemos usar nuestra intuición geométrica del producto interior caso.

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