¿Radio de convergencia del medio iterado de sinh(z)?

Question

El medio iterado de sinh(z) tiene una serie de potencias formal, centrada en z=0. ¿Converge la serie de potencias formal para el medio iterado en el origen? Esto equivale a preguntar si la media iteración es analítica en el origen. Si converge, ¿cuál es el radio de convergencia? ¿Existen otras singularidades en el plano complejo para el medio iterado del seno(z)? El sinh(z) es una función entera, con crecimiento exponencial en el eje real, tanto para z positivo como negativo. Tiene un punto fijo de cero, con un multiplicador de punto fijo de 1. $$\sinh(x)=\frac{\exp(x)-\exp(-x)}{2} = x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}+ \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} ....$$

Se puede generar un medio iterado formal de la función, tal que half(half(x))=sinh(x).

$$\text{half}(x) = x + \frac{x^3}{12} + \frac{-x^5}{160}+ \frac{53x^7}{40320} + \frac{-23x^9}{71680} + \frac{92713x^{11}}{1277337600} + ....$$

Tal medio iterado tendría un crecimiento "medio exponencial" a medida que abs(real(z)) se hace mayor, por lo que tenía curiosidad por saber si era entero, ya que no conozco ninguna función "medio exponencial" entera. Los coeficientes del medio iterado de asinh(z) parecen ser en su mayoría decrecientes, con el coeficiente 41 $\approx 0.0000000047072111$ . ¿Converge dicha función de medio iterado al punto fijo en el origen, o la convergencia es sólo ilusoria, con la serie realmente asintótica, en lugar de convergente? Otra forma de generar el medio iterado es $\alpha^{-1}(\alpha(z)+\frac{1}{2})$ , donde $\alpha(z)$ es la función abel. Presumiblemente, esto genera el mismo medio iterado. ¿Cuáles son las singularidades de la media iterada en el plano complejo?

Answer 1

Es una serie asintótica no convergente. Véase la respuesta de Will Jagy en mathoverflow: https://mathoverflow.net/questions/45608/formal-power-series-convergence/46765#46765

Hay una singularidad en el origen. Yo añadiría algo a la respuesta de Will Jagy. En realidad, hay cuatro funciones de medio iteración desconectadas diferentes, en las cuatro direcciones diferentes, +real, +imag, -real, -imag, asociadas a los cuatro pétalos de la flor de Leau. Si tomamos un punto entre +real y +imag, obtenemos dos respuestas diferentes. Por ejemplo, tomemos $x=\exp(\frac{\pi i}{4}) \approx 0.707+0.707i$ . Dependiendo de cuál de los dos cuadrantes cercanos iteremos $\sinh$ o $\sinh^{-1}$ hacia, obtenemos dos respuestas ligeramente diferentes para la media iteración, ambas correctas.

$$ \text{half}_1(\exp(\frac{\pi i}{4})) = 0.653259304673551626921 + 0.769356780291275338686i$$ $$ \text{half}_2(\exp(\frac{\pi i}{4})) = 0.653259380995613385458 + 0.769356792332637384377i$$

Estas dos cifras difieren en $0.8 \times 10^{-7}$ . La primera media iteración es el resultado de la iteración $x \mapsto \sinh(x)$ 40 veces $\approx 0.00649983843037054 + 0.268429858003731i$ y luego tomar la media serie de iteración, y luego iterar $x \mapsto \sinh^{-1}(x)$ 40 veces. La segunda media iteración es el resultado de iterar primero $x \mapsto \sinh^{-1}(x)$ 40 veces $\approx0.278230216164981 + 0.0137470522792658i$ y luego tomar el medio iterado y luego iterar $x \mapsto \sinh(x)$ . Ambos resultados se imprimen con una precisión de 28 dígitos decimales, y ambos convergen al resultado impreso, a medida que la cuenta de iteraciones llega al infinito. La serie de media iteración en sí misma es una serie asintótica con convergencia óptima utilizando algún número de términos en la serie. El resultado usando la serie de medio iterado coincidiría con los resultados de usar la solución de la función de Abel para el medio iterado, si ambos se usan en el mismo cuadrante.

La singularidad está en el origen, pero la diferencia entre los cuadrantes se reduce a medida que se acerca al origen. Además de la singularidad en el origen, sospecho que también hay una singularidad en i, donde el $\sinh^{-1}(i)$ tiene un punto de ramificación debido a la derivada de $\sinh'(\pi i/2)=0$ donde $\sinh(\pi i/2)=i$ .

Answer 2

(Este es un comentario para la respuesta de Sheldon, pero contiene una imagen, así que lo he convertido en una respuesta)

No esperaba ver la iteración a la mismo punto fijo utilizando $f(x)$ y $f^{o-1}(x)$ Cuando aprendí sobre los puntos fijos que repelen y atraen, esas propiedades estaban mutuamente relacionadas con la iteración de la función y la iteración de su inversa.... Extraño...

Observación 1: los marcadores documentados en las órbitas de las iteraciones simples (las curvas) están en las iteraciones $(0),2,6,14,30,62,...,2^k-2,...$ . La interpolación de las órbitas se basa en la interpolación lineal (ligeramente mejorada) entre $z_{k+200} \ldots z_{k+201}$ (para la curva sinh) y $z_{-k-200} \ldots z_{-k-201}$ para la curva asinh.

Observación 2: el intento de aumentar la velocidad de convergencia mediante el uso de la iteración Newton no tuvo mucho éxito - no conseguimos duplicar los dígitos correctos en cada iteración ("como siempre" con Newton en muchos otros casos) . Parece un ejemplo muy interesante de cómo la iteración de Newton puede estropearse... (Sin embargo, sigue siendo un método mucho mejor para acercarse al punto fijo: los marcadores de las órbitas de la iteración de Newton están a sólo una iteración de distancia).