El campo residual de $\operatorname{Spec}(\prod_{p} \overline{\mathbb{F}_p})$ .

Question

Dejemos que $I$ sea un conjunto y $\mathfrak{U}$ sea el conjunto de todos los ultrafiltros en $I$ . Si $E \subset I$ definimos $\mathfrak{U}_E$ es el conjunto formado por los elementos de $\mathfrak{U}$ que contienen $E$ . Podemos dotar $\mathfrak{U}$ con una topología para la que una base de conjuntos abiertos viene dada por la $\mathfrak{U}_E$ 's.

Dejemos que $(k_i)_{i\in I}$ ser familia de campos y poner $A = \prod_{i \in I} k_i$ . Podemos entonces demostrar que para cada $\mathscr{F} \in \mathfrak{U}$ $ \mathfrak{m}_{\mathscr{F}} = \{ (x_i)_{i\in I} \in A \;|\; \{i \in I \;|\; x_i = 0 \} \in \mathscr{F} \}$ es un ideal máximo de $A$ .

Además, el mapa $\mathscr{F} \mapsto \mathfrak{m}_{\mathscr{F}}$ es un homeomorfismo de $\mathfrak{U}$ a \N nombre del operador {Spec}(A)$.

Más o menos he podido mostrar todo esto. Pero ahora me piden (esto es de un viejo examen de mi curso de geometría algebraica) que demuestre que si $I$ es el conjunto de números primos, $k_i = \overline{\mathbb{F}_i}$ y $\xi \in \operatorname{Spec}(A)$ es un punto correspondiente a un ultrafiltro no principal de $I$ entonces $\kappa(\xi)$ (el campo residual de $\xi$ ) es un campo algebraicamente cerrado de característica cero.

No he podido probarlo así que me pregunto si alguien puede sugerir una solución. De hecho, estoy más interesado en una referencia para este resultado porque me parece realmente genial (y podría comprobar si lo que he hecho es correcto).

Para información, este es el ejercicio $4$ de este examen (en francés), allí encontrará más detalles sobre los ultrafiltros: http://www.math.jussieu.fr/~lepage/TD/GeoAlg/termgeo-alg2012.pdf

Answer 1

De hecho, se trata de un ejercicio muy sencillo de teoría de modelos.

Primero hay que escribir la teoría de primer orden de los campos, y añadir el esquema que especifica que un campo es algebraicamente cerrado. Es decir, $\forall x_0\ldots\forall x_n\exists y(x_ny^n+\ldots+x_1y+x_0=0)$ .

Ahora el teorema Łoś nos dice que el ultraproducto es un campo, y que de hecho es algebraicamente cerrado. Esto es así porque el ultraproducto satisface una sentencia si y sólo si el conjunto de índices de estructuras que satisfacen esta sentencia es grande (en el ultrafiltro). Y todas ellas satisfacen esta parte de la teoría.

Para ver que las características son $0$ , obsérvese que para cada $p$ el conjunto de campos cuya característica es mayor que $p$ es grande (de hecho cofinito). Por lo tanto, el producto satisface $1+1\neq 0$ y $1+1+1\neq 0$ y así sucesivamente. Lo que es lo mismo que decir que tiene características $0$ .