¿Cómo puedo mostrar que una bijección entre$[0,1)$ y$(0,1)$ no puede ser continua?

Question

Supongamos que$f:[0,1)\to (0,1)$ es biyectivo. Demuestre que$f$ no es continuo.

---

Sé que$(0,1)$ y$[0,1)$ no son espacios homeomorfos debido a la propiedad conectada. ¿Podemos entonces concluir que$f$ no es continuo debido a eso?

Answer 1

Suponga$f(0) = a \in (0,1).$ Dado que$f$ toma valores tanto menores como mayores que$a$ en el intervalo$(0,1)$ (por surjetividad), el teorema del valor intermedio implica que toma el valor$a$De nuevo en el intervalo$(0,1),$ contrariando la inyectividad.

Answer 2

Suponga que de lo contrario existe dicho mapa. Sea$f:[0,1)\to(0,1)$ una bijección continua. Entonces tenemos una bijección inducida $$ g: (0,1) \ a \ {0,1 \} \ setminus \ {f (0) \}$$ with $ g = f | ps

Tenga en cuenta que$g$ también es continua. Pero esto es imposible ya que el mapa continuo mantiene la conexión mientras$(0,1)\setminus\{f(0)\}$ no está conectado.

Answer 3

Aquí hay otra manera.

Supongamos $f$ es una función continua, no necesariamente bijective, de$[0,1)$$(0,1)$. Podemos mostrar que $f$ no puede ser bijective.

Desde la imagen continua de un conjunto conectado está conectado y el único conectado subconjuntos de a $(0,1)$ son intervalos, la imagen de $(0,1)$ debe ser un intervalo contenido en $(0,1)$. Si se tratara de la totalidad de $(0,1)$, tendríamos ningún lugar para poner $f(0)$, lo $f$ no ser inyectiva. Si la imagen de $(0,1)$ fueron algunos estricto subinterval $I$ de $(0,1)$, $f(0)$ no podía golpear cada punto en el complemento de $I$$(0,1)$, lo $f$ no estaría surjective. De cualquier manera, $f$ no puede ser bijective.

Answer 4

El resultado siguiente muestra que$f$ es estrictamente monotónico. Suponga que$f$ está aumentando estrictamente,$f(0)\in (0,1)$ implica que existe$y<f(0)$,$y=f(x)$ y$x>0$ contradicción.

Si$f$ está disminuyendo estrictamente, tiene$f(0)<y=f(x)$,$x>0$ contradicción.

Https://proofwiki.org/wiki/Continuous_Injection_of_Interval_is_Strictly_Monotone

Answer 5

Las biyecciones continuas entre intervalos de números reales son monótonas, y por lo tanto sus inversas también son continuas.

Así que si$f$ era una bijección continua sería un homeomorfismo, pero$[0,1)$ y$(0,1)$ no son homeomorfos, ya que el primer intervalo tiene un punto que no desconecta el conjunto al retirarlo.