Suponga que tiene un conjunto de 12 bolas de colores, dos de cada uno de seis colores diferentes$C_{1}$ through$C_{6}$ ...

Question

Suponga que tiene un conjunto de 12 bolas de colores, dos de cada uno de los seis colores diferentes $C_{1}$ a través de $C_{6}$. Encontrar el número de seis bola de combinaciones si las bolas del mismo color se consideran idénticos.

Mediante la Inclusión-Exclusión Principio y $\binom{n}{m}_{R}=\binom{n+m-1}{m}$ donde m es el número de bolas y n es el número de cuadros (o en este caso la longitud de la combinación), yo debo ser capaces de resolver este problema.

Sin embargo, no tengo idea de cómo resolver este tipo de problemas. Por favor alguien puede ayudarme? Gracias

Answer 1

Para resolver en la forma particular especificado, revertir el problema.

Imaginar que las bolas son idénticos,
y que por arte de magia adquirir el color de $6$ claramente cuadros de colores en la que se ponen,
ninguno de los cuales puede tener más de $2$ pelotas, que se traduce en problemas por encima de enteros no negativos, $x_1+x_2+.....+ x_6 = 6,\;\; 0\le x_i\le2$

Cuidar de que el límite superior, se excluyen inadmisible combos poniendo $3$ en uno o más cuadros y aplicar inclusión-exclusión, por lo tanto

$\binom{11}5 - \binom61\binom{8}5 + \binom62\binom{5}5 = 141$

Answer 2

Generación del enfoque de la función $$ \begin{align} \left[x^6\right]\left(1+x+x^2\right)^6 &=\left[x^6\right]\left(\frac{1-x^3}{1-x}\right)^6\\ &=\left[x^6\right]\sum_{k=0}^6(-1)^k\binom{6}{k}x^{3k}\sum_{j=0}^\infty(-1)^j\binom{-6}{j}x^j\\ &=\sum_{k=0}^2(-1)^k\binom{6}{k}(-1)^{6-3k}\binom{-6}{6-3k}\\ &=\sum_{k=0}^2(-1)^k\binom{6}{k}\binom{11-3k}{5}\\ &=\binom{6}{0}\binom{11}{5}-\binom{6}{1}\binom{8}{5}+\binom{6}{2}\binom{5}{5}\\[9pt] &=462-336+15\\[15pt] &=141 \end {align} $$

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Casing en el número de pares

Elige$k$ colors para tener dos bolas de cada uno de esos colores y uno de los demás $$ \begin{align} \sum_{k=0}^3\overbrace{\ \ \ \binom{6}{k}\ \ \ }^{\substack{\text{number of}\\\text{ways to choose}\\\text{paired colors}}}\overbrace{\binom{6-k}{6-2k}}^{\substack{\text{number of}\\\text{ways to choose}\\\text{singleton colors}}} &=\binom{6}{0}\binom{6}{6}+\binom{6}{1}\binom{5}{4}+\binom{6}{2}\binom{4}{2}+\binom{6}{3}\binom{3}{0}\\ &=1+30+90+20\\[9pt] &=141 \end {align} $$

Answer 3

En problemas como este, me parece un poco más fácil romper en varios casos:

1. Todas las bolas de diferentes colores.
2. Un par de bolas son del mismo color.
3. Dos pares de bolas son del mismo color.
4. Tres pares de bolas son del mismo color.

Cuántas combinaciones hay en el caso 1? Bien, sólo una. Hay seis colores, y las bolas del mismo color se consideran idéntico.

Cuántas combinaciones hay en el caso 2? Decir que $C_1$ es el color de la bola que está emparejado. Luego hay 4 bolas, todas de diferentes colores, los restantes. Eso significa que hay un color que falta. Hay 5 formas para que eso suceda, porque hay 5 colores a la izquierda al $C_1$ es el color de la bola que está emparejado. Esta debe ser una idea de cuántas combinaciones hay para el caso dos, dado que sólo he aquí considerado la posibilidad de $C_1$ siendo el color de los pares de pelota.

En el caso de tres, hacemos uso de una lógica similar. Decir que $C_1$ $C_2$ son los colores que están vinculados. Hay dos bolas de diferentes colores restantes, y dos colores que faltan. Sólo hay un número limitado de maneras de tener dos colores restantes. Usted debe ser capaz de hacer eso. Recordar de nuevo que esto es sólo el caso en que $C_1$ $C_2$ son los colores de los pares de pelotas.

El último caso es donde tres parejas son del mismo color. Hay un número de maneras en que pueden suceder, y es el mismo que el número de maneras de escoger 3 objetos de 6.

Answer 4

Comience con$6$ bolas diferentes, y reemplace$j\in\{0,1,2,3\}$ de ellas por bolas de$j$ por otros colores. Esto se puede hacer en$$\sum_{j=0}^3{6\choose j}{6-j\choose j}=141$ $ ways.