Sé que $\lim_{n\to\infty}\sin(n)$ no existe. Pero puede $\sin(n)$ ser arbitrariamente pequeño? Más formalmente: Sea $\varepsilon>0$ . ¿Existe una entero positivo $n$ tal que $|\sin(n)|<\varepsilon$ ?
Porque los ceros de $\sin$ son los elementos de $\pi\mathbb{Z}$ y $\sin$ es continua, su pregunta es equivalente a tener para cada $\epsilon>0$ números enteros positivos $p$ y $q$ con $|q\pi-p|\leq \epsilon$ . Pero esto es posible por Teorema de aproximación de Dirichlet .
Teorema de equidistribución de Weyl implica que la parte fraccionaria de $M\pi$ se distribuye uniformemente en $(0,1)$ .
Por lo tanto, si $M\pi = n + f$ con $f \to 0$ entonces $f \gt \sin f= |\sin(M\pi -f)| = |\sin(n)|$
Esto demuestra que $|\sin(n)|$ puede acercarse arbitrariamente, con una frecuencia infinita a cualquier valor en $(0, \sin 1)$ .
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Puede demostrar que $\underset{n\to \infty}{\lim}\sin(n)$ es denso en su espacio de valores, lo que significa que asumirá valores arbitrariamente cercanos a cualquier valor que tome. Creo que Jack tiene los detalles de lo que se requiere para eso, no los recuerdo ahora mismo.
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@TheSubstitute, mencionó $n$ es un número entero (Si no, es trivial)
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¿Podrían buscar el significado de "entero positivo"? $n$ "? Está escrito con suficiente claridad en la pregunta. Así que $n$ no es continua ni pasa por $0$ .