Que es$$\lim_{x\rightarrow\,-\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^n}$ $?
¿Qué se sabe acerca de los valores específicos de esta función al decir$-2,-1,0,1,2,3$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En esta publicación, varios usuarios demostrado que
$$ \lim_{x\to-\infty} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k^k} = -1. $$
Una ligera generalización es también posible: En mi respuesta anterior, me demostró que
$$ \lim_{x\to-\infty} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k^{k-m}} = \begin{cases} -1, & m = 0 \\ 0, & m = 1, 2, \cdots \end{cases} $$
Por otro lado, no estoy seguro de si no trivial valores especiales para este poder de la serie es conocida. Aunque soy bastante escéptico, uno se puede beneficiar de las siguientes representación integral
$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k^k} = \int_{0}^{1} x \cdot u^{-xu} \, du $$
que es una generalización de la estudiante de Segundo año del sueño.
