Problema
Deje $f:\Bbb R\rightarrow\Bbb R$ ser tal que $|f(x)-f(y)|\le M|x-y|^\alpha$ algunos $M>0, \alpha>1$, y para todos los $x,y\in \Bbb R$. Demostrar que $f$ es constante.
Intento
Si $f$ no es constante, entonces existe $x,y$ tal que $x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y)$. A continuación, $0<|f(x)-f(y)|$. Entre cualesquiera dos números reales, siempre podemos encontrar un número real. Vamos a elegir un número real entre el$0$$|f(x)-f(y)|$, y llamar a ese número $c$. A continuación, $0<c<|f(x)-f(y)|$.
Ahora echemos un vistazo a $|x-y|$, que también es mayor que $0$. Para nuestra $c$, no importa qué número positivo que hemos recogido, y no importa cuán grande $|x-y|$ es, es posible recoger $M>0$ arbitrariamente cerca de $0$ $\alpha>1$ arbitrariamente cerca de $1$, de modo que
\begin{align*}\sqrt[\alpha] {c\over M}>|x-y|&\Rightarrow M|x-y|^\alpha <c<|f(x)-f(y)|\\&\Rightarrow |f(x)-f(y)|>M|x-y|^\alpha\end{align*}
Pero, el problema de los estados que $|f(x)-f(y)|\le M|x-y|^\alpha$, por lo que la única manera de cumplir con esta condición es si $f(x)=f(y)$, independientemente de nuestra elección de $x,y$. Si $f(x)=f(y)$, independientemente de nuestra elección de $x,y$, esto significa que $f$ es constante.
Final de Intento de
Para ser honesto, no tengo ni idea si hasta estoy haciendo algo correctamente... te agradecería tu ayuda.
