Determinar una constante para un cierto límite que implique la función arctan

Question

Consideremos la secuencia $(x_n)_{n \ge 0}$ tal que $x_0\gt 0$ y se define como sigue: $$x_{n+1}=\arctan x_n \ .$$ Encuentre los números $\alpha \in \Bbb R$ tal que $\lim _ {n \to \infty}n^{\alpha}x_n$ existe y es un número real no nulo.

MI INTENTO: He intentado encontrar algunas propiedades para las funciones trigonométricas inversas, pero no he podido encontrar nada. ¿Puedes ayudarme?

Answer 1

Porque para todos $x>0$ tenemos $0<\arctan x<x$ concluimos por un simple argumento de inducción que la secuencia $(x_n)_{n\ge0}$ es positiva decreciente, por lo que debe converger a algún límite $\ell$ que satisfagan $\ell=\arctan \ell$ Es decir $\ell=0$ . Así, $$\lim_{n\to\infty}x_n=0\tag{1}$$ De ello se desprende que $$\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=\lim_{n\to\infty} \frac{\arctan{x_n}}{x_n}=1\tag{2}$$ Ahora, $$\eqalign{\frac{1}{x_n^2}-\frac{1}{x_{n+1}^2}&=\frac{x_n^2}{x_{n+1}^2}\cdot\frac{(\arctan x_n)^2-x_n^2}{x_n^4}\cr &=\frac{x_n^2}{x_{n+1}^2}\cdot\frac{(x_n-x_n^3/3+O(x_n^5))^2-x_n^2}{x_n^4}\cr &=\frac{x_n^2}{x_{n+1}^2}\cdot\left(-\frac{2}{3}+O(x_n^2)\right) }$$ De ello se desprende que $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{x_{n+1}^2}-\frac{1}{x_{n}^2}\right)=\frac{2}{3}\tag{3}$$ Utilizando Stolz-Cesàro concluimos que $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{nx_n^2}=\frac{2}{3}\tag{4}$$ O $$\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}x_n=\sqrt{\frac{3}{2}}$$ Que es la conclusión deseada.

Answer 2

Hay resultados generales para $x_{n+1}=f(x_n)$ donde $f(x) = x - a_k x^k + \dots$ incluyendo casos especiales como iteración del seno u otro iteración del seno . La clave es saber $k>1$ el índice de la primera potencia de $x$ con coeficiente no nulo después de $x$ mismo. Esto se trata en el libro "Asymptotic methods in analysis" de N. G. de Bruijn.