¿Una teselación regular $\{p,q\}$ siempre es posible en algunos cerrado superficie $S$?

Question

Supongamos que se nos da enteros positivos $p$, $q$, $V$, $E$, $F$, una superficie cerrada $S$ y la característica de Euler $\chi(S)$ de esa superficie. Supongamos que sabemos, también, que las siguientes relaciones: $$ qV=2E=pF\\ V-E+F=\chi(S).\la etiqueta{$\star$} $$ Un mosaico regular $\{p,q\}$ es una teselación por $p$-ágonos donde $q$ azulejos cumplir en cada vértice. O, usando la teoría de grafos, un incrustados $q$-gráfico regular cuyo doble es $p$-regular.

Con la información anterior, podemos decir que hay un mosaico regular $\{p,q\}$$S$.

Es bien sabido que si un mosaico regular $\{p,q\}$ $S$ existe, entonces las relaciones $(\star)$ mantener. Así que son necesarios. Lo que yo estoy preguntando es: ¿Son también conocidos a ser suficiente.

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Si la respuesta resulta ser altamente no trivial, entonces también me gustaría pedir una referencia.

Edit 1:
Una idea apareció en mi cabeza, para replantear las cosas. Vamos a empezar con un $q$-regualr el gráfico de $V$ vértices y $E=\frac{qV}2$ bordes. Podemos, a continuación, elija siempre un sistema de rotación de $R$, de tal manera que podamos obtener $F=\frac{qV}p$ $p\text{-gonal}$ las caras? (Recuerde que $p$, $q$, $V$, $E$, $F$ se dio).

Las preguntas que deben ser respondidas en este caso son:

• Podemos dibujar un $q$-gráfico regular con $V$ vértices y $E=\frac{qV}2$ bordes?
• Puede que siempre dan este gráfico, el sistema de la rotación $R$ descrito anteriormente?

Hace que esto sea el problema más factible?

Edit 2:
Como se ha mencionado en los comentarios, hay una relación natural con teselaciones del plano hiperbólico y Poincaré (polígono) Teorema.

El camino en este caso se ve, a mi entender, como este:

• Considere la posibilidad de la $\{p,q\}$ teselación del plano hiperbólico ($\mathbb D$).
• Trate de encontrar un simplemente conectado subconjunto $P$ de este mosaico compuesto de $F$ $p$-ágonos. Dicen que la frontera de $P$ se compone de $Z$ lados (a cada lado de la $P$ debe ser de un borde de una $p$-gon).
• Encuentra apto lado de emparejamiento para $P$. Adecuado, lo que significa que gire $P$ a $S$.

Las preguntas que ahora deben ser contestadas son:

• Podemos siempre hacer una simplemente conectado a $P$, que consta de $F$ $p$-ágonos tal forma que el número de vértices y aristas son "correctos".
• Podemos también encontrar un lado emparejamientos?

Este método es el menos fructífera en mi opinión. Observe cómo las dos preguntas a ser respondidas aquí están entrelazados (el número de vértices y el filo es dependiente en el lado emparejamientos). Ya he encontrado que esta es una muy útil el método heurístico, pero probablemente doen't ayuda mucho a encontrar un genral respuesta. He incluido aquí para demostrar que ya he probado y señalar sus puntos débiles.

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Edit 3:
Estoy empezando a pensar que un general de la prueba en la actualidad no podría existir. Así que si usted puede demostrar que tiene "un montón" de los casos, me gustaría mucho ver eso. (Estoy contemplando esta haciendo una conjetura, por lo que le ayudará a ser capaz de decir algo acerca de su probabilidad.)

Answer 1

Este problema fue resuelto en

Edmonds, Allan L.; Ewing, John H.; Kulkarni, Ravi S. Regular tessellations de superficies y (p,q,2)-triángulo grupos. Ann. de Matemáticas. (2) 116 (1982), no. 1, 113-132.

Desde el MathReview de la ponencia:

Los autores consideran regular tessellations de tipo $(p,q)$ sobre una superficie; una generalización de los sólidos Platónicos. El parámetro $p$ es el número de aristas en cada cara, mientras que $q$ es la valencia de cada vértice. El principal teorema establece que mientras obvio condiciones necesarias, basadas en la fórmula de Euler, se cumplen entonces un mosaico regular de tipo $(p,q)$ existe en una superficie de $M$. Además, los bordes pueden ser geodesics y una clasificación de regular tessellations de tipo $(p,q)$ $M$ se da basado en $\pi_1(M)$. La principal técnica utilizada para probar el teorema es la construcción de adecuados ramificada revestimientos sobre superficies con patrones irregulares.

El principal resultado de su trabajo es el Teorema 1:

Deje $M$ ser una superficie cerrada y dejar que $p, q, V, E, F$ ser positivo enteros tales que $$ V-E+F=\chi(M)$$ y $$ pF=2E=qV$$

Entonces: existe un $(p, q)$-teselación en $M$ que consta de $F$ $p$-de caras, $E$ bordes y $V$ vértices de cada uno de valence $q$; excepto cuando se $M$ es el plano proyectivo, $(p, q) = (3,3)$, $V = F = 2$, y $E = 3$.

Tenga en cuenta que las condiciones anteriores también son necesarios para la existencia de una $(p,q)$-teselación.

Una observación importante: Para este teorema para celebrar, algunas de las caras poligonales $\sigma$ de la teselación se les permite ser "singular" en el sentido de que algunos de los bordes de $\sigma$ están pegados el uno al otro sobre la superficie de la $M$. Un ejemplo simple de una singular cara es el mosaico de la 2-toro que tiene la particularidad de 2 dimensiones cara rectangular, cuyos bordes están identificados en la forma estándar. En otras palabras, la CW complejos que subyacen a la teselación, no tiene que ser regular.

Answer 2

Esto es realmente un comentario extendido, en lugar de una respuesta, pero no se ajusta como un comentario.

Un poco algebraica de la meditación:

$$qV = 2E = pF$$ nos dice que $$ pqV = 2pE\\ pq F = 2t E $$ así que $$ pq(V-E+F) = 2pE - pqE + 2q E = (2(p+q) - pq) E = \chi$$

Así que usted realmente no necesita ser dada la característica de Euler de $S$ -- sabes que es $(2(p+q) - pq) E$.

En este punto, la cuestión puede ser dividido en dos partes: una donde $S$ es orientable, uno en el que no es, para una vez que usted sabe que un número $\chi \le 2$, hay exactamente un orientable y uno nonorientable superficie con la característica de Euler.