¿Por qué podemos utilizar la inducción al estudiar las metamatemáticas?

Question

De hecho, no entiendo el significado de la palabra "metamatemática". Sólo quiero saber, por ejemplo, por qué podemos utilizar la inducción matemática en la demostración de teoremas lógicos, como el Teorema de la Deducción, o incluso alguna proposición más fundamental como "toda fórmula tiene igual número de corchetes a la izquierda y a la derecha".

¿Qué podemos utilizar exactamente al hablar de metamatemáticas? Si la inducción está bien, ¿qué tal el axioma de elección/determinación? ¿Puedo utilizar el axioma de elección en una colección de conjuntos de fórmulas? Por cierto, tampoco entiendo por qué podemos hablar de un "conjunto" de fórmulas)

Le he preguntado a uno de mis compañeros sobre esto, y me ha dicho que ha dejado de pensar en este tipo de cosas. Tengo ganas de abandonar también......

Answer 1

Esta es una confusión habitual para los estudiantes que se introducen en la lógica formal por primera vez. Demuestra que tienen unas expectativas ligeramente equivocadas sobre para qué sirven las metamatemáticas y qué van a conseguir con ellas.

Probablemente esperas que debería ir más o menos como en el primer año de análisis real, que comenzó con el profesor diciendo algo así como

En el instituto, tu profesor te exigía que aceptaras un montón de datos sobre los números reales por fe. Aquí es donde dejamos de tomar esos hechos por fe y en su lugar demostramos desde los primeros principios que son verdaderos.

Esto te llevaba a hablar mucho de los axiomas y a realizar minuciosas demostraciones casi formales de cosas que ya conocías, y al final del mes eras capaz de reducirlo todo a un pequeño conjunto de axiomas que incluían algo como el principio de supremacía. Luego, si tenías suerte, se invocaban los cortes de Dedekind o las secuencias de Cauchy para convencerte de que si crees en los números de conteo y en un poco de teoría de conjuntos, también deberías creer que hay algo que satisface los axiomas de la línea real.

Esto hace que sea natural esperar que la lógica formal funcione de la misma manera:

Cuando eran estudiantes, sus profesores les exigían que aceptaran muchas técnicas de demostración (como la inducción) por fe. Aquí es donde dejamos de tomarlas por fe y en su lugar demostramos desde los primeros principios que son válidas.

Pero no es así como va . Usted es todavía Se espera que creas en los razonamientos matemáticos ordinarios por la razón que sea, ya sea porque tienen sentido intuitivo para ti, o porque encuentras que las conclusiones a las que conducen suelen funcionar en la práctica cuando tienes la oportunidad de verificarlas, o simplemente porque la autoridad lo dice.

En cambio, la metamatemática es una búsqueda de precisión sobre lo que es que ya crees, de tal manera que podemos usar razonamiento matemático ordinario sobre esos principios para llegar a conocer cosas interesantes sobre los límites de lo que uno puede esperar probar y cómo las diferentes elecciones de lo que se toma por fe conducen a diferentes cosas que se pueden probar.

O, en otras palabras, la tarea consiste en utilizar el razonamiento matemático ordinario para construir un modelo matemático del propio razonamiento matemático ordinario, que podemos utilizar para estudiarlo.

Dado que los metamatemáticos están interesados en conocer cuánto de fe es necesario para este o aquel argumento matemático ordinario, también tienden a aplicar este interés a su propia razonamiento sobre el modelo matemático. Esto significa que es más probable que intenten evitar las técnicas de razonamiento de gran potencia (como la teoría general de conjuntos) cuando puedan -- no porque tales métodos sean prohibido sino porque es un hecho interesante que puede evitar para tal o cual propósito.

En última instancia, sin embargo, se reconoce que hay algunos principios que son tan fundamentales que no podemos hacer nada sin ellos. La inducción de los números naturales es uno de ellos. No es un problema Es sólo un hecho (empírico) interesante, y después de anotar ese hecho, pasamos a utilizarlo cuando construimos nuestro modelo de razonamiento matemático ordinario.

Después de todo, el razonamiento matemático ordinario ya existe -- y lo hizo durante miles de años antes de que se inventara la lógica formal. No estamos tratando de construir aquí (el modelo no es la cosa en sí), sólo para entender mejor la cosa que ya tenemos.

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Para responder a su pregunta concreta: Sí, puedes ("se te permite") utilizar el axioma de elección si lo necesitas. Es una buena forma de tener en cuenta el hecho de que tienen lo utilizó, de forma que tengas una respuesta si más tarde te preguntan: "el argumento metamatemático que acabas de llevar a cabo, ¿puede ser formalizado en tal o cual sistema?" Formalizar los argumentos metamatemáticos dentro de tu modelo ha demostrado ser una forma muy poderosa (aunque también confusa) de establecer ciertos tipos de resultados.

También puedes usar el axioma de la determinación, si eso te gusta, siempre que seas consciente de que hacerlo no es realmente un "razonamiento matemático ordinario", por lo que es doblemente importante revelar fielmente que lo has hecho cuando presentas tu resultado (no sea que alguien intente combinarlo con algo ellos encontrado usando AC en su lugar, y obtener tonterías de la combinación).

Answer 2

Esto no pretende en absoluto ser una respuesta a su pregunta. (Me gusta la respuesta de Henning Makholm más arriba.) Pero pensé que le interesaría saber Thoralf Skolem's Los comentarios sobre esta cuestión, porque son bastante pertinentes -en particular, uno de sus puntos va exactamente a su pregunta sobre la demostración de que cada fórmula tiene el mismo número de paréntesis a la izquierda y a la derecha-, pero son demasiado largos para ponerlos en un comentario.

Los teóricos de conjuntos suelen opinar que hay que definir la noción de número entero y demostrar el principio de inducción matemática. Pero está claro que no podemos definir ni demostrar ad infinitum; tarde o temprano llegamos a algo que no es definible ni demostrable. Nuestra única preocupación, pues, debe ser que los fundamentos iniciales sean algo inmediatamente claro, natural y no cuestionable. Esta condición se cumple con la noción de entero y con las inferencias inductivas, pero decididamente no se cumple con axiomas teóricos de conjuntos del tipo de Zermelo o cualquier otra cosa de ese tipo; si aceptáramos la reducción de las primeras nociones a las segundas, las nociones de teoría de conjuntos tendrían que ser más simples que la inducción matemática, y el razonamiento con ellas menos cuestionable, pero esto va totalmente en contra del estado real de las cosas.

En un artículo (1922) Hilbert hace la siguiente observación sobre Poincaré's afirmación de que el principio de inducción matemática no es demostrable: "Su objeción de que este principio no podría ser probado de otra manera que no sea por la propia inducción matemática es injustificada y es refutada por mi teoría". Pero entonces la gran pregunta es si podemos demostrar este principio por medio de principios más simples y sin utilizar ninguna propiedad de las expresiones o fórmulas finitas que, a su vez, se apoye en la inducción matemática o sea equivalente a ella . Me parece que este último punto no fue suficientemente tenido en cuenta por Hilbert. Por ejemplo, hay en su artículo (al final de la página 170), para un lema, una prueba en la que hace uso del hecho de que en cualquier prueba aritmética en la que ocurre un cierto signo, ese signo debe ocurrir necesariamente por primera vez. Aunque esta propiedad sea evidente sobre la base de nuestra intuición perceptiva de las expresiones finitas, una prueba formal de la misma sólo puede darse por medio de la inducción matemática. En la teoría de conjuntos, en todo caso, nos tomamos la molestia de demostrar que todo conjunto finito ordenado está bien ordenado, es decir, que todo subconjunto tiene un primer elemento. Ahora bien, ¿por qué hemos de demostrar cuidadosamente esta última proposición, pero no la anterior, que afirma que la propiedad correspondiente es válida para las expresiones aritméticas finitas que aparecen en las pruebas? ¿O el uso de esta propiedad no es equivalente a una inferencia inductiva?

No profundizo en el artículo de Hilbert, sobre todo porque sólo he visto su primera comunicación. Sólo quiero añadir la siguiente observación: Es impar ver que, dado que el intento de encontrar un fundamento para la aritmética en la teoría de conjuntos no ha tenido mucho éxito a causa de las dificultades lógicas inherentes a esta última, se hacen ahora intentos, y por cierto muy artificiosos, de encontrarle un fundamento diferente -como si la aritmética no tuviera ya un fundamento adecuado en las inferencias inductivas y las definiciones recursivas.

(Fuente: Thoralf Skolem, "Some remarks on axiomatized set theory", discurso en el Quinto Congreso de Matemáticos Escandinavos, agosto de 1922. Traducción al inglés en De Frege a Gödel , p299-300. Jean van Heijenoort (ed.), Harvard University Press, 1967).

Creo que es interesante leer esto a la luz de la excelente respuesta de Henning Makholm, que creo que está en armonía con las preocupaciones de Skolem. No sé si Hilbert respondió a Skolem.

Answer 3

La metamatemática es la matemática aplicada al estudio de las matemáticas. Así, la metamatemática es matemáticas, y utilizar la inducción en las metamatemáticas es tan poco problemático como utilizar las derivadas al estudiar las ecuaciones diferenciales.

La confusión podría basarse en el hecho de que la metafísica no es claramente física, sino que podría considerarse la rama de la filosofía que estudia los presupuestos de la física. Hay una tendencia a considerar la metamatemática como otra palabra para la filosofía de las matemáticas. Aunque es evidente que hay un cierto solapamiento entre ambas, simplemente no son lo mismo. La filosofía de las matemáticas suele utiliza metamatemáticas como herramienta, del mismo modo que la filosofía analítica utiliza a veces la lógica simbólica o la filosofía de la ciencia el teorema de Bayes. La filosofía de las matemáticas no se agota en las cuestiones para las que la metamatemática es la herramienta adecuada. Al menos una parte de la filosofía de las matemáticas se ocupa de argumentar la validez del razonamiento matemático, incluido el de la inducción. Obviamente, sería un juego de preguntas utilizar la inducción para demostrar la validez de la inducción, y en algunos contextos sería perfectamente correcto objetar tales cosas. Pero, cuando se trata de la teoría matemática de la lógica formal, esas preocupaciones están fuera de lugar.

Answer 4

Me recuerda este comentario al principio del libro de Kleene Lógica matemática :

"Será muy importante, a medida que avancemos, tener presente esta distinción entre la lógica que estamos estudiando (la lógica del objeto) y nuestro uso de la lógica al estudiarla (la lógica del observador). A cualquier estudiante que no esté preparado para ello, le sugerimos que cierre el libro ahora, y escoja algún otro tema en su lugar, como la acróstica o la apicultura."

De las páginas 3 y 4 del libro de Stephen Kleene Lógica matemática