Límite de $x/|x|$

Question

Cuál es el límite de

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{|x|}$$

Mi conjetura es que es $1$ si $0+$ y $-1$ $0-$ si

Gracias

Answer 1

deberíamos discutir dos casos para esta pregunta (según definición de la función del módulo)

Si $x>0$ la función es $$\lim_{x\to 0+}\frac{x}{x}, x>0$ $ LHL

$$\implies\lim_{x\to 0+}1=1$$

Si $x<0$ la función es %#% $ #%

BSR

$$\lim_{x\to 0-}\frac{x}{-x}, x<0$$

como se puede ver el límite de la mano izquierda no es igual al límite de la mano derecha. ¡Por lo tanto no existe límite!!!!

Nota:

el + y - firma en límites

Answer 2

$\ x \rightarrow 0 $ Puede abordar desde el lado positivo y lado negativo.
Para
Límite de la mano izquierda: $\ x \rightarrow 0- $
es decir, $x<0$
Por lo tanto, $|x|$ = $-x$
Así $\lim_{x\rightarrow 0-} \ x/|x|$ = $\lim_{x\rightarrow 0-} \ x/(-x)$ = $-1$
Del mismo modo para
Límite de la mano derecha: $\ x \rightarrow 0+$
Ahora $\lim_{x\rightarrow 0+} \ x/|x|$ = $\lim_{x\rightarrow 0-} \ x/(x)$ = $+1$
Desde
LA BSR $\neq$ LHL
Por lo tanto no existe límite.