$\mathbb{R}$ Como un espacio del vector encima $\mathbb{Q}$

Question

Quiero entender mejor la estructura de espacio vectorial $\mathbb{R}$$\mathbb{Q}$. Sé que es un infinito dimensional espacio vectorial con un no contables Hamel base, y es citado en numerosas obras para este propiedades. Pero, la búsqueda en línea, no me parece que cualquier tratamiento satisfactorio de las propiedades de dicho espacio. E. g. :

¿Cuál es su espacio dual? y el dual del dual?

Hay alguna manera de caracterizar su subespacios? hay alguna equivalencia relación entre ellos (como para la dimensión contables de espacios vectoriales) y, en general, podemos definir una dimensión de los subespacios?

Es posible definir un producto interior en este espacio?

Así que: no quiero aquí una respuesta a esta pregunta, pero yo pregunto si hay algún accesible resurse donde puedo encontrar un específico y exhaustivo estudio de este espacio que a mí me parecen muy interesantes.

Answer 1

La razón que usted no puede encontrar cualquier referencia en este es que no hay nada particularmente especial acerca de $\mathbb{R}$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ - es isomorfo a cualquier otro espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ cuya base tiene la misma cardinalidad.

En particular, definir la dimensión de un espacio vectorial a ser la cardinalidad de cualquier base para el espacio vectorial. No es difícil ver que $\dim(V) = |V|$ para cualquier infinito-dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$, y por lo tanto $\mathbb{R}$ es un espacio vectorial de dimensión $|\mathbb{R}|$. Dos vectores espacios, por encima de $\mathbb{Q}$ son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión.

Si $B$ es una base para$\mathbb{R}$$\mathbb{Q}$, lineal funcionales de $\mathbb{R}$ $\mathbb{Q}$están en una correspondencia uno a uno con funciones de $B\to \mathbb{Q}$. En particular, el espacio dual es isomorfo a $\mathbb{Q}^\mathbb{R}$, el espacio vectorial de todas las funciones $\mathbb{R}\to\mathbb{Q}$, cuya cardinalidad es el mismo que el del juego de poder de $\mathbb{R}$.

En general, si $V$ es cualquier infinito-dimensional espacio vectorial sobre$\mathbb{Q}$,$|V^*| = |\mathcal{P}(V)|$. Por Cantor del teoremase sigue que $$ |\mathbb{R}| \;<\; |\mathbb{R}^*| \;<\; |\mathbb{R}^{**}| \;<\; |\mathbb{R}^{***}| \;<\; \cdots. $$

Como para subespacios, todos los subespacios de $\mathbb{R}$ tiene una dimensión como se definió anteriormente, que debe de ser un cardenal inferior o igual a $|\mathbb{R}|$. Por lo tanto, hay finito-dimensional subespacios de cada dimensión, así como contables dimensiones de los subespacios y subespacios isomorfos a $\mathbb{R}$. Si usted cree que la hipótesis continua , a continuación, estas son las únicas posibilidades, pero si no cree en la hipótesis continua, a continuación, existen subespacios de otros intermedios cardinalidades.

Cada subespacio $S$ también tiene un codimension, que es la dimensión de la $\mathbb{R}/S$, o, equivalentemente, la dimensión de cualquier subespacio complementario a $S$. Si $\dim(S) < |\mathbb{R}|$,$\mathrm{codim}(S) = |\mathbb{R}|$, pero si $\dim(S) = |\mathbb{R}|$, $\mathrm{codim}(S)$ puede ser de cualquier cardenal inferior o igual a $|\mathbb{R}|$. Si $S$ $S'$ son subespacios de $\mathbb{R}$, entonces existe un $\mathbb{Q}$-lineal bijection $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ de los que tomaron $S$ $S'$si y sólo si $S$ $S'$ tienen la misma dimensión y de la misma codimension.

Es posible poner un $\mathbb{Q}$valores de producto interior en $\mathbb{R}$, pero no es muy significativo. Básicamente, para cualquier base $B$$\mathbb{R}$, existe un $\mathbb{Q}$valores de producto interior en $\mathbb{R}$, conforme a la cual la base es ortonormales. Esta es definida básicamente por tomar el "producto escalar" de el coeficiente de vectores de dos números reales con respecto a esta base. De manera más general, es posible poner un $\mathbb{Q}$valores interior del producto en cualquier espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ por la elección de una base para ser ortonormales.