¿Es necesariamente cierto $A^2=I \implies A=\pm I$?

Question

$A$ es $n\times n$ matriz. Cómo probar si es verdadero o falso $$A^2=I \implies A=\pm I$ $ trataba en el caso de #% de #% %... multiplicando las entradas general y luego equipararlos a los requisitos de identidad... pero no es una prueba...

Answer 1

Sugerencia: Es falso. Complete adecuadamente la siguiente matriz: $\begin{bmatrix}\clubsuit & 0\\0 &\spadesuit\end{bmatrix}$.

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Más generalmente, dado los números naturales $m,n$ y $A\in \Bbb C^{n\times }$ tal que $A^m=I_n$, es cierto que los valores propios de $A$ $m$ raíces de $1$, (no necesariamente todos ellos).

Por otra parte es necesariamente diagonalizable $A$.

Estos hechos permite construir fácilmente los ejemplos contrarios la declaración $A^m=I_n\implies A=\pm I_n$, si $m\ge 2$. Por ejemplo, si $m=n$, que $A=\operatorname{diag}(e^{\large{2\pi i/m}}, e^{\large{4\pi i/m}}, \ldots,e^{\large{2m\pi i/m}})$.

Answer 2

Para un poco más de enfoque geométrico, considere la definición de una matriz como una transformación lineal; una asignación $A : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ que fija el origen (y tiene otras propiedades: en general, $A(au+bv) = aA(u) + bA(v)$ donde $u, v$ son vectores y $a, b$ son escalares). Dado que estamos trabajando con un $2 \times 2$ matriz, $n = 2$, y estamos asignación de espacio de dos dimensiones (plano) sobre sí mismo.

Una reflexión a través de la línea de $y = ax$ es una transformación lineal en el espacio de dos dimensiones, y puede ser escrito como $$A = \left[ \begin{array} {cc} \frac{a^2 - 1}{a^2 + 1} & \frac{2a}{a^2 + 1} \\ \frac{2a}{a^2+1} & \frac{1-a^2}{a^2+1} \end{array}\right].$$ Claramente, la aplicación de una reflexión de dos veces el mapa de un vector a sí mismo, por lo $A^2 = I$. Esto puede ser verificado de manera algebraica.

Answer 3

Prueba $A=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$.

Answer 4

Insinuación:

ps

Answer 5

De hecho, es bastante fácil y sencillo de elaborar y presentar una solución general a este problema, el uso de algunos álgebra común y un poco de información acerca de las matrices, en el caso de que $n = 2$. En el siguiente vamos a derivar fórmulas generales para todas las soluciones de $A^2 = I$ $2 \times 2$ de los casos, y en hacer que la respuesta a la pregunta, "¿ $A^2 = I \Rightarrow A = \pm I$?" es definitivamente negativo. A saber:

Si ponemos

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \tag{1}$

a continuación, nos encontramos, en la escritura de las entradas de la matriz de la ecuación

$A^2 = I, \tag{2}$

que las siguientes relaciones se mantienen entre las $a_{ij}$:

$a_{11}^2 + a_{12}a_{21} = a_{22}^2 + a_{21}a_{12} = 1, \tag{3}$

$a_{11}a_{12} + a_{12}a_{22} = a_{21}a_{11} + a_{22}a_{21} = 0, \tag{4}$

y puesto que la traza de la matriz $A$,

$\text{Tr}(A) = a_{11} + a_{22}, \tag{5}$

vemos que (4) puede escribirse

$a_{12} \text{Tr}(A) = a_{21}\text{Tr}(A) = 0. \tag{6}$

Desde $\text{Tr}(A)$ es un importante invariantes de la matriz $A$, (6) sugiere que debemos romper el análisis adicional de acuerdo con el valor de $\text{Tr}(A)$; así que supongamos para empezar que

$\text{Tr}(A) \ne 0, \tag{7}$

luego por (6) tenemos

$a_{12} = a_{21} = 0, \tag{8}$

y por lo tanto (3) se convierte en

$a_{11}^2 = a_{22}^2 = 1, \tag{9}$

de dónde

$a_{11} = \pm 1; \; \; a_{22} = \pm 1, \tag{10}$

y ya que (7) se aplica, se debe, de hecho, tienen

$a_{11} = a_{22} = \pm 1, \tag{11}$

así que, de hecho,

$A = \pm I \tag{12}$

en el caso de que (7) se mantiene. Por otro lado, si tenemos

$\text{Tr}(A) = 0, \tag{13}$

entonces

$-a_{22} = a_{11} = \alpha, \tag{14}$

donde se ha introducido el parámetro de $\alpha$; a continuación se observa que, por (3),

$a_{12}a_{21} = 1 - \alpha^2, \tag{15}$

lo que implica que para $\alpha^2 \ne 1$,

$a_{12} \ne 0 \ne a_{21}; \tag{16}$

se introduce un segundo parámetro $\beta \ne 0$, en este caso, y establecer

$a_{12} = \beta; \tag{17}$

entonces a partir de (15), (17):

$a_{21} = (1 - \alpha^2) / \beta; \tag{18}$

así vemos que en el caso de que (13) sostiene y $\alpha \ne 1$, $\beta \ne 0$, $A$ tiene la forma general

$A = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ (1 - \alpha^2) / \beta & -\alpha \end{bmatrix}; \tag{19}$

en el caso de que $\text{Tr}(A) = 0$, $\alpha^2 = 1$, (15) muestra que al menos uno de $a_{12}$, $a_{21}$ se desvanece. En el caso de que ambos $a_{12}, a_{21} = 0$, entonces claramente $A$ toma una de las dos formas $A_0$, con

$A_0 = \pm \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \tag{20}$

y el único caso restante es $\text{Tr}(A) = 0$, $\alpha^2 = 1$, con exactamente uno de $a_{12}$, $a_{21}$ cero. Pero entonces, es fácil ver que $A$ puede ser expresado como

$A = A_0 + \beta N, \tag{21}$

con $\beta \ne 0$, donde

$N = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \tag{22}$

o

$N = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}. \tag{23}$

el lector puede comprobar fácilmente que $A_0N + NA_0 = 0$ $A_0, N$ como en (20), (22)-(23), y desde $N^2 = 0$, tenemos

$A^2 = (A_0 + \beta N)^2 = A_0^2 + \beta (A_0N + NA_0) + \beta^2 N^2 = A_0^2 = I. \tag{24}$

De hecho, es fácil ver por cálculo directo que $A^2 = I$ para cada uno de los casos presentados anteriormente; de hecho, hay toda la parametrización a las familias de las matrices de $A \ne I$ tal que $A^2 = I$.

Por último, creo que es digno de observación que probablemente es bastante conocido el hecho de que la ecuación de matriz $A^2 = I$ ha parametrizado a las familias de soluciones de $A$$A \ne I$; de hecho, si elegimos cualquier nonsingular matriz$E$$EA \ne AE$,$(EAE^{-1})^2 =EA^2E^{-1} = EIE^{-1} = I$, siempre; pero $EA \ne AE$ implica $EAE^{-1} \ne A$, de modo que las familias de dichas $E$ en un sentido de "generar" familias $A$. En el caso de que $A$ no es un escalar varios de $I$, $E$ se sabe que existen.

Espero que esto ayude. ¡Hasta la vista,

y como siempre,

Fiat Lux!!!