Deje $X$ ser un espacio topológico, $F$ un abelian gavilla en $X$ $Z$ ser un subconjunto cerrado. A continuación, podemos elegir un subconjunto abierto $V$ tal que $Z \subset V$ $Z$ es un subconjunto cerrado en $V$. Definir $\Gamma_Z(X,F)$ el subgrupo de $F(V)$, que consiste en todos los sectores de $F$ cuyo apoyo está contenida en $Z$. Me llaman "Hartshorne del libro Local cohomology". En el libro, $\Gamma_Z(X,F)$ es independiente de $V$ elegido anteriormente. Pero, no puedo entender esta frase. El significado de esta frase es que para abrir conjuntos de $U,V$ agrupa $Z$ por encima de la definición de subconjuntos son isomorfos??? es poosible para probar?? Me ayudan....
Respuesta
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Sí, para abrir los subconjuntos $U,V$ contiene $Z$ los definidos anteriormente, los grupos son isomorfos. Aquí es una prueba. Claramente no es suficiente para probar el isomorfismo de grupos a los que desea usar todo el espacio $X=U$ y el otro abierto subconjunto $V$ contiene $Z$. I. e. reclamamos un isomorfismo de grupos:
$$\Gamma_Z(X,\mathcal{F}) \simeq \Gamma_{Z \cap V}(V, \mathcal{F}|_V)= \Gamma_Z(V,\mathcal{F}|_V).$$
El mapa de $\varphi:\Gamma_Z(X,\mathcal{F}) \rightarrow\Gamma_Z(V,\mathcal{F}|_V)$ dado por la restricción de las secciones es una de morfismos de abelian grupos, de hecho es un bien definido la restricción de la canónica de morfismos de abelian grupos $\mathcal{F}(X) \rightarrow \mathcal{F}(V)$. Tenemos que probar que es un bijection.
La inyectividad es dada por el hecho de que si $\varphi(s_1)=\varphi(s_2)$,$(s_1-s_2)|_V=0$$(s_1-s_2)|_{X\setminus Z}=0-0=0$. Desde $V$ $X\setminus Z$ son una cobertura de $X$ deducimos $s_1-s_2=0$ porque $\mathcal{F}$ es una gavilla (y no sólo un presheaf).
Para el surjectivity deje $s\in \Gamma_Z(V,\mathcal{F}|_V)$, y considerar la sección cero $0\in\mathcal{F}(X\setminus Z)$. Desde el apoyo de $s$ está contenido en $Z$ tenemos que $s|_{V\cap(X\setminus Z)}=0|_{V\cap(X\setminus Z)}$. Utilizando de nuevo el hecho de que $\mathcal{F}$ es una gavilla (de nuevo ser sólo un presheaf no sería suficiente), podemos deducir que existe $t\in\mathcal{F}(X)$ tal que $t|_{V}=s$, y es igual a cero en caso contrario. Esto implica $t\in\Gamma_Z(x,\mathcal{F})$$\varphi(t)=s$.
