ensayar

Question

Me pide que pruebe lo siguiente:

Que $s(x):=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{x}{n}$. Entonces $s(x+y)=s(x)s(y)$.

No sé cómo empezar. Estoy pensando en función de $\exp(x)$ $\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}$. ¿Yo estoy bien con este comienzo? Entonces empiezo así: $$\sum_{n=0}^{n}\dfrac{x^n}{n!} \cdot \dfrac{y^n}{n!} = .. help = \frac{1}{n!}(x+y)^n$ $

No sé cómo continuar o si estoy bien.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Tenemos el teorema generalizado del binomio

$$ (1+z)^x= \sum_{n=0}^\infty \binom{x}{n}z^n $$

donde $\binom{x}{n}$ denota el coeficiente binomial generalizado

$$ \binom{x}{n} = \frac{x(x-1)(x-2)\cdot\ldots\cdot(x-n+1)}{n}$$

Siempre $x > -1$, esta serie converge con el radio de convergencia $1$ y específicamente para $z=1$; convergencia en $z=1$ es absoluta si y sólo si $x > 0$. Así, suponiendo que $x > 0$, tenemos $s(x)=(1+1)^x=2^x$, y ahora el problema es trivial: $$s(x)s(y)=2^x2^y=2^{x+y}=s(x+y)$$ for $x, y > 0$.

Answer 2

Primero se debe observar que la serie converge absolutamente. Entonces podemos utilizar el hecho de que $\sum a_{n}b_{n}=AB$el % si $\sum a_{n}=A$ y $\sum b_{n}=B$ y al menos uno de la serie es absolutamente convergente. Con esto, se calcula:\begin{align*} s(x)s(y) &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{y^{n}}{n!}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{n}\frac{x^{j}y^{n-j}}{j!(n-j)!}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}x^{j}y^{n-j}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x+y)^{n}}{n!}\\ &=s(x+y). \end{align*}

Answer 3

Probablemente algo así como

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{(x+y)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{i=0}^n \frac{1}{n!}\binom{n}{i}x^iy^{n-i}=\sum_{n=0}^\infty \sum_{i=0}^n \frac{x^i}{i!}\frac{y^{n-i}}{(n-i)!}=\left(\sum_{j=0}^\infty \frac{x^j}{j!}\right)\left(\sum_{k=0}^\infty \frac{y^k}{k!}\right).$$