Demostrar que $ \exp \left(SL(2,R)\right)$ es el conjunto de todas las matrices con traza positiva $\geq -2$

Question

Utilizando el hecho de que cada matriz en $SL(2,\mathbb{R})$ es conjugado en $SL(2,\mathbb{R})$ a una de las siguientes matrices:

$$ \left(\begin{array}{rr} a & 0\\ 0 & \frac{1}{a} \end{array}\right), \quad \left(\begin{array}{rr} 1 & t\\ 0 & 1 \end{array}\right), \quad \left(\begin{array}{rr} -1 & t\\ 0 & -1 \end{array}\right) \quad \mbox{y} \quad \left(\begin{array}{rr} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{array}\right), $$ Demuestre que la imagen del mapa exponencial $$\exp\: : \: \left\{ \left(\begin{array}{rr} x & y \\ z & -x \end{array}\right) \: : \: x,y,z \in \mathbb{R}\right\} \longrightarrow SL(2,\mathbb{R})$$ es \begin{equation}\left\{M\in SL(2,\mathbb{R}) \: : \: tr(M)>-2\right\} \cup \left\{-I\right\}. \qquad (*)\end{equation}

Observación: He probado muchas cosas, por ejemplo, sabemos que $$\exp(PJP^{-1}) =P\exp(J)P^{-1}$$

También sabemos que la traza es invariante bajo cujugación, esto es $$tr\left(\exp(PJP^{-1}) \right)=tr\left(\exp(J)\right).$$ Por lo tanto, si $M \in \exp \left(SL(2,R)\right)$ , entonces hay $A\in SL(2,R)$ tal que $M=\exp(A)$ Entonces, como $A$ es conjugada a una de las matrices anteriores, entonces $$tr(M)= \left\{ \begin{array}{} tr\left(\exp\left(\left(\begin{array}{rr} a & 0\\ 0 & \frac{1}{a} \end{array}\right) \right) \right) & \mbox{if } A \mbox{ is conjugate to } \left(\begin{array}{rr} a & 0\\ 0 & \frac{1}{a} \end{array}\right)\\ tr\left(\exp\left( \left(\begin{array}{rr} 1 & t\\ 0 & 1 \end{array}\right)\right) \right) & \mbox{if } A \mbox{ is conjugate to } \left(\begin{array}{rr} 1 & t\\ 0 & 1 \end{array}\right)\\ tr\left(\exp\left(\left(\begin{array}{rr} -1 & t\\ 0 & -1 \end{array}\right) \right) \right) & \mbox{if } A \mbox{ is conjugate to } \left(\begin{array}{rr} -1 & t\\ 0 & -1 \end{array}\right)\\ tr\left(\exp\left( \left(\begin{array}{rr} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{array}\right) \right) \right) & \mbox{if } A \mbox{ is conjugate to } \left(\begin{array}{rr} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{array}\right)\\ \end{array} \right.$$ A partir de esto último, el problema que tengo es demostrar que todas las matris en $ \exp \left(SL(2,R)\right)$ está en el conjunto $(*)$ . El mayor problema que tengo cuando quiero mostrar que todas las matris en conjunto $(*)$ está en $ \exp \left(SL(2,R)\right)$ .

Answer 1

Notación: Utilizaremos las siguientes notaciones.

$$ r(\theta) = \left ( \begin{matrix} 0 & \theta \\ -\theta & 0 \end{matrix} \right ) $$

$$ n(x) = \left ( \begin{matrix} 0 & x \\ 0 & 0 \end{matrix} \right ) $$

$$ a(t) = \left ( \begin{matrix} t & 0 \\ 0 & -t \end{matrix} \right ) $$

donde $\theta$ , $x$ , $t$ son números reales.

Utilizaremos Descomposición de Iwasawa . Dice que cualquier matriz en $SL(2,\mathbb{R})$ es de la forma $KAN$ donde $K=$ una matriz de rotación, $A$ es una matriz diagonal (con entradas positivas) y $N$ es una matriz unipotente.

Demostraremos que podemos encontrar matrices reales de rastro cero $(k,a,n)$ tal que $e^{k} = K$ , $e^{a} = A$ etc.

Para cualquier matriz diagonal $A$ podemos tomar $a$ = matriz diagonal con entradas $ln(a)$ y $ -ln(a)$ en la diagonal.
Para cualquier matriz unipotente $N(x)$ con $x$ en la matriz no diagonal podemos tomar $n(x)$ .

Por último, si $K(\theta)$ es la matriz de rotación, que gira el plano en $\theta$ entonces considere la matriz $r(\theta)$ arriba. El $n$ -el producto $r(\theta)^{n}$ sólo tendrá elementos diagonales o no diagonales dependiendo de si $n$ es impar o incluso. Es fácil ver que $e^{r(\theta)} = K(\theta)$ cuando se sustituyen las expresiones de series de potencia por $\cos(\theta)$ y $\sin(\theta)$ .

Las estimaciones de los valores propios se obtienen fácilmente.