¿Son todos los grupos algebraicos?

Question

Sé que la definición de un grupo como un conjunto con una operación que satisface ciertos axiomas. He oído que hay algo que se llama un algebraica de grupo y que este es un grupo con una topología tal que la multiplicación y la recíproca son continuas (o algo así).

Mi pregunta es: Dado un grupo de $G$, este grupo siempre se debe ver como un algebraica de grupo?

A partir de los comentarios de abajo, estoy bastante seguro de que O no me refiero a un grupo topológico. Estoy pensando en la algebraicas variedad de cosas.

Answer 1

Lo que he descrito es un grupo topológico. La definición de una expresión algebraica de grupo es algo más complicado. Y algebraica de los grupos no son grupos topológicos (aunque en ciertos contextos que dan lugar a grupos topológicos). En realidad no hay un sentido en el que cualquier grupo de $G$ puede ser visto como una expresión algebraica de grupo, a menos que soltar una finitud de la condición generalmente se incluye en la definición de una expresión algebraica de grupo. Cada (resumen) grupo $G$ da lugar a algo parecido a una expresión algebraica de grupo (llamado constante esquema de grupo), pero no conocer sus antecedentes, no estoy seguro de que esto es algo sobre lo que te gustaría saber más.

EDIT: Es difícil saber qué decir porque no sé en el fondo de la OP, pero voy a tratar para obtener más detalles. Algebraica de los grupos de más de un campo $k$ son, por definición (en un sentido preciso, que no voy a entrar) relativa a la finitely generadas $k$-álgebras, es decir, los coeficientes del polinomio anillos de más de $k$ en un número finito de variables, y, en cierto sentido, se requiere solamente un número finito de estos cocientes para describir. Si usted toma un número finito de grupo $G$ (sólo un resumen, finito grupo), entonces no es una expresión algebraica de grupo $\underline{G}$ $k$ (por lo que tiene el derecho de finitud propiedades que he aludido más arriba) con la propiedad de que $\underline{G}(k)=G$ (el grupo de $k$-puntos racionales es su resumen original del grupo $G$), pero tenga en cuenta que, en general algebraica de grupo no determinado por su grupo de $k$-puntos racionales. También, algunas personas (no a mí) requieren algebraica de los grupos para estar conectado, $\underline{G}$ no va a estar conectado si $G$ no es trivial. De hecho, como un esquema, es un discontinuo de la unión de $\#G$ copias de $\mathrm{Spec}(k)$. Podemos hacer la misma cosa para un arbitrario (es decir, no necesariamente finita) resumen de grupo $G$, y obtener un $k$-esquema de grupo localmente finito de tipo $\underline{G}$ con la propiedad de que $\underline{G}(k)=G$, pero esto $G$ tendrá un número infinito de componentes conectados, y por lo tanto la mayoría de las definiciones no merece ser llamado algebraica de grupo de más de $k$. Mejor llamarlo simplemente un esquema de grupo (más precisamente, la constante esquema de grupo sobre $k$ asociado a la abstracta grupo $G$).

Así que cada abstracto grupo de los rendimientos de un esquema de grupo sobre $k$ cuyo grupo de $k$-racional de puntos igual a la original, resumen de grupo, pero sólo los grupos finitos producir lo que la gente podría llamar algebraica de los grupos. Infinito grupos, que acaba de obtener un $k$-esquema de grupo.

Answer 2

Lo que usted describe es de hecho conocido como un grupo topológico, en lugar de una expresión algebraica de grupo. Y sí, cualquier grupo puede ser hecho topológico dándole la topología discreta (aunque esto no suele ser interesante.

Algebraica de grupo, sin embargo, es ligeramente diferente (pero del mismo sabor). Es un grupo que también es una variedad algebraica (generalmente se supone afín, en cuyo caso la llamamos una algebraicas lineales grupo). La multiplicación y la inversión deben ser morfismos de variedades. Pero ahora es más fácil para ver si cualquier grupo puede ser algebraicas en este sentido (y de hecho, si el grupo es demasiado grande en comparación con el anillo sobre el que a uno le gusta hacer algebraicas, entonces no es posible).

Answer 3

Supongo que siempre podría dotar cualquier grupo con la topología discreta (cada subconjunto está abierto). Entonces las operaciones del grupo son trivial continuas.

Answer 4

Así que usted puede considerar cualquier abstracto grupo topológico grupo por darle la topología discreta, pero, en general, en contra del propósito de topológica de los grupos, que es explotar una significativa la topología en el grupo con el fin de hacer algo.

La mayoría de las respuestas que aquí se está diciendo algo a lo largo de las líneas de:

"Si usted trata de hacer el análogo cosa estúpida para algebraica de los grupos, la producción de un grupo con un trivial y probablemente inútil algebraica de la estructura, hay algunos obstáculos en este ... no se puede hacer en general."

Aunque eso es cierto, dudo que sea útil para alguien con una pregunta básica.

Algebraica de los grupos, por lo general, tienden a ser las cosas que pueden ser descritos como grupos de matrices de satisfacer algunas de sencillo condiciones. Mientras que las condiciones pueden ser considerados como polinomios en las entradas de las matrices de alguna manera, tiene una expresión algebraica de grupo, que permite el uso de la maquinaria de la geometría algebraica para el estudio del grupo.

Por supuesto, si usted tiene, por ejemplo, un grupo finito, se puede considerar como una expresión algebraica de grupo de una forma trivial (y de hecho esto es importante en algunos casos en los que también desee utilizar en conjunción con algunos algebraica de grupo con estructura no trivial), pero esto no va a ayudar a estudiar el grupo finito de alguna manera.