¿Es la inclusión $C^1[0,1] \subset C[0,1]$ ¿compacto?

Question

Estoy trabajando en este problema pero no pude tener éxito.

Considere el espacio $C^1[0,1]$ con la norma $$\|f\|= \max \{\|f\|_{C[0,1]}, \|f'\|_{C[0,1]}\},$$

No sé si el mapa de inclusión es compacto, pero mi amigo dijo que lo es. ¿Cómo muestro que el mapa de inclusión de $$(C^1[0,1],\| .\|) \to (C[0,1],\| .\|)$$ es compacto?

Gracias.

Answer 1

Intentaré escribir una respuesta como sugirió Martin. Por favor, corrígeme si me equivoco:

Aquí usamos Arzela Ascoli : que dice que $M$ un subconjunto del espacio de Banach $X=C[0,1]$ es relativamente compacto si $M$ es limitado y equicontinuo.

Aquí, tomemos la bola de la unidad de $C^1[0,1]$ entonces $\|f\|_{C^1} \le 1$ para todos $f \in B_1(0_{C^1[0,1]}) \subset C^1[0,1]$ por lo tanto, para tal que $ \frac {f(x)-f(y)}{x-y} \le 1 $ para todos $f \in B_1(0_{C^1[0,1]})$

Eso es porque para $f \in M=B_1{(0_{C_1[0,1]})}$ tenemos $1 \ge ∥f∥_ {C_1[0,1]}=\{ \max {∥f∥_{C^0[0,1]},∥f′∥_{C^0[0,1]}} \}$ lo que implica que ambos $∥f∥_{C^0}≤1$ y $∥f′∥_{C^0}≤1$

Note que lo anterior se desprende del teorema del valor medio, es decir, que existe $ \zeta \in (x,y)$ porque $f$ es continua , que $ \implies $ $f(x)- f(y) = f'( \zeta ) (x-y)$ Pero como sabemos que $|f'( \zeta ) | \le 1$ de la definición de $C^1$ norma.

Así que tenemos una constante común de lipschitz para todos $f \in B_1(0_{C^1[0,1]} )$ y seguimos eso por $|x-y| < \epsilon $ tenemos

lo que implica que $|f(x)-f(y)| < \epsilon $ para todos $f$ en la bola de la unidad de $C^1[0,1]$

Esto me da equicontinuidad, es decir, "si un conjunto de funciones está limitado por la constante común de Lipschitz, entonces el conjunto es equicontinuo".

Ahora nuestra tarea es probar que la bola de la unidad de $C^1[0,1]$ está limitada en la unidad de la bola de $C[0,1]$ eso significa $B_1(0_{C^1[0,1]}) \subset B_1{(0_{C[0,1]})}$ que parece claro mientras que el $\|.\|_{C^1[0,1]} \ge \|.\|_C[0,1]$

Es útil señalar que $T(f)(s) = \int_0 ^t f(s) ds$ es un operador compacto, se desprende directamente de la observación anterior porque $T$ mapas de $C[0,1]$ a $C^1[0 1]$ . $T$ es continua porque $\|T\| \le \|f\|_{C[0,1]} \le \|f\|_{C^1[0,1]}$ ahora componiendo $T$ con el mapa de inclusión nómbrelo $i : C^1[0,1] \to C[0,1]$ que es compacto. Como sabemos que el subespacio de los operadores compactos del espacio de Banach al espacio de Banach forman un ideal en el espacio de los operadores continuos . De esto se deduce que $T$ es compacto.

Si la prueba es correcta, el crédito es para Martin. Lo que nos da lo que queremos. ( esperemos)