Estoy un poco atascado con la prueba de un teorema estoy tratando de comprender. El teorema es la siguiente:
"Por extraño prime $p$, supongamos por $\alpha \in Q_{p}$ (p-ádico racionales) que $|\alpha|_p=1$. A continuación, $\exists\beta\in Q_p$ tal que $\alpha=\beta^2\iff \exists\gamma\in Z/pZ$ tal que $|\alpha-\gamma^2|_p<1$."
La prueba es:
Supongamos $\exists\gamma\in Q_p$ tal que $|\alpha -\gamma^2|_p<1$, (es decir, $\beta^2\equiv\alpha(modp)$ es soluble). Ahora construimos una secuencia $(\beta_n)$ dejando $\beta_1=\gamma$ y la definición de $\beta_n$ para satisfacer:
$|\beta_n^2-\alpha|_p<\frac{1}{p^n}$ $|\beta_{n+1}-\beta_n|<\frac{1}{p^n}$
Si tomamos $\beta_n$ como se da, entonces tomamos $\beta_{n+1}=\beta_n+\delta_n$, por lo que el $\beta_{n+1}^2=\beta_n^2+2\beta_n\delta_n+\delta_n^2$, y es suficiente para tomar $\delta_n=\frac{\alpha-\beta_n^2}{2\beta_n}$.
Por el contrario, la necesidad es obvia si elegimos $\gamma=\beta^2$. $\square$
Siento que me falta algo que me impide entender esto. $|\beta_{n+1}-\beta_n|_p<\frac{1}{p^n}\implies p^n$ divide $(\beta_{n+1} - \beta_n)$, y si $\beta_{n+1}=\beta_n+\delta_n$, entonces esto debe significar $\delta_n$ es divisible por $p^n$.
Si tomamos $\delta_n$$\delta_n=\frac{\alpha-\beta_n^2}{2\beta_n}$, entonces esto nos da $\beta_{n+1}^2=\alpha+\delta_n^2 \implies \beta_{n+1}^2-\alpha=\delta_n^2$. A continuación, hemos demostrado que $\beta_{n+1}-\alpha$ es divisible por $p^{n+1}$, es decir, que $|\beta_{n+1}^2-\alpha|_p<\frac{1}{p^{n+1}}$.
Fue este el objetivo de la prueba? Un argumento inductivo en los términos de $(\beta_n)$? Si no ¿qué es lo que tengo mal entendido en este teorema? Muchas gracias de antemano por las respuestas, me encantaría entender esto.
