Distributividad de cuantificadores sobre conectivas lógicas

Question

Se me presenta la siguiente expresssion: $$ \forall un [\phi(a) \a \psi(a)] \wedge \forall un [\psi(a) \a \phi(a)] $$ que deseo lógicamente reducir a: $$ \forall un [\phi(a) \leftrightarrow \psi(a)] $$

La única área que no estoy seguro acerca de está mostrando que la cuantificación universal es distributiva sobre la conjunción, tan trivial como parece. Más bien, no estoy seguro de dónde encontrar teoremas o lemas relacionados con el tema. La teoría de texto de que esto viene proporciona ningún conocimiento y la lógica introductoria texto que tengo también no tocar el asunto, al menos en mucho detalle.

Answer 1

Dado $$\forall x [\phi(x) \to \psi(x)] \wedge \forall x [\psi(x) \to \phi(x)]$$ la eliminación de la conjunción, se puede inferir $$\forall x [\phi(x) \to \psi(x)]$$ $$ \forall x [\psi(x) \to \phi(x)]$$ Ahora uso la UE, el cuantificador universal de la eliminación, a instancias de los cuantificadores utilizando un parámetro arbitrario '$a$' para obtener $$\phi(a) \to \psi(a)$$ $$\psi(a) \to \phi(a)$$ de ahí que, la introducción del bicondicional, $$\phi(a) \leftrightarrow \psi(a)$$ Pero $a$ es de hecho arbitrario, por lo que podemos utilizar la interfaz de usuario, el cuantificador universal introducción, para obtener $$\forall x[\phi(x) \leftrightarrow \psi(x)].$$ Así que, aquí hemos utilizado las reglas estándar para el cuantificador universal, además de las normas pertinentes para las conectivas proposicionales. Cualquier lógica estándar de texto debe ser capaz de ayudar aquí: Pablo del Cajero confiable y accesible la Moderna Lógica Formal de la Cartilla está disponible gratuitamente en http://tellerprimer.ucdavis.edu

Answer 2

Respuesta de Peter está muy bien, otro enfoque podría ser como sigue. Comenzar con

$$ \forall a [\phi(a) \to \psi(a)] \wedge \forall a [\psi(a) \to \phi(a)], $ $ usuario $$ \forall a [\phi(a) \to \psi(a)] \wedge \forall b [\psi(b) \to \phi(b)], $ $ mover bajo el primer cuantificador $$ \forall a [\phi(a) \to \psi(a) \wedge \forall b [\psi(b) \to \phi(b)]], $ $ eliminar el cuantificador instanciando con $b = a$, $$ \forall a [\phi(a) \to \psi(a) \wedge \psi(a) \to \phi(a)]. $ $

No hay ninguna manera de omitir la eliminación (comenzar con dos cuantificadores y quiere llegar a uno), pero así que no tienes que lidiar con variables, parámetros o constantes especiales.

¡Saludos!