El objetivo de la mmp es encontrar un representante en cada clase biracional que por alguna razón pueda ser considerada agradable.
Para las curvas la respuesta es clara, hay un único representante proyectivo liso y por cualquier consideración es el que mejor representa la clase.
En el caso de las superficies esto se complica, ya que existen mapas biracionales no triviales entre superficies proyectivas lisas. Sin embargo, como siempre son una combinación de expansiones y reducciones, es relativamente fácil mantener el orden.
Obsérvese que un $(-1)$ -se suele definir como una curva isomorfa a $\mathbb P^1$ que tiene un número de autointersección $(-1)$ . Una definición quizás mejor que apunta a equivalentes de mayor dimensión es que un $(-1)$ -es una curva isomorfa a $\mathbb P^1$ con un número de intersección $(-1)$ contra $K_X$ donde $X$ es la superficie en la que vive la curva. Estas dos definiciones son equivalentes por la fórmula de adición, pero esta última tiene la ventaja de que no depende de $X$ siendo una superficie.
Veamos un modelo mínimo de una superficie. ¿Por qué lo elegimos como representante? En cierto sentido, podría haber otras formas de elegir un representante, pero se podría argumentar que un modelo mínimo es el modelo "más simple" que sigue siendo suave (toma nota de esto, nos daremos cuenta más tarde de que aquí la suavidad es en realidad algo más disfrazado). El teorema de Castelnuovo sobre el derribo $(-1)$ -curvas dice que podemos "deshacernos de ellas", así que por qué no hacerlo. Contraigamos todo lo que podamos. Se puede demostrar con relativa facilidad que contraer una curva que no es una $(-1)$ -curva conducirá a puntos singulares.
Bien, la estrategia consiste en contraer todas las cosas que podamos y esperar que así consigamos una teoría razonable. La segunda definición de $(-1)$ -curva sugiere que para encontrar lo que podemos contraer es a través de $K_X$ Es decir, las cosas que se pueden contraer y no causar demasiados problemas son $K_X$ -negativo. De hecho, hay una forma más precisa de decir esto, pero no voy a entrar en detalles técnicos ahora.
Así que, ya sea por esta vía o ya por superficies uno se da cuenta de que lo que hace un modelo mínimo es que $K_X$ es nef, es decir, la intersección con cualquier curva propia da un número no negativo. Entonces, ahora se dice que $\mathbb P^2$ es una superficie mínima pero $K_X$ es amplio y negativo, por lo que está muy lejos de ser nefasto. Sí, en la terminología moderna de la mmp, $\mathbb P^2$ en realidad no es mínima. La afirmación es que toda variedad es biracional a una que es una serie de espacios de fibra de Fano sobre una variedad mínima.
Quizás deba mencionar un ejemplo interesante aquí, creo que se debe a Iitaka, o a alguien de su escuela: Tome un $3$ -Variedad abeliana de una dimensión $A$ y mod por la involución $(-1)\cdot$ . Resolver el resultado $64$ puntos dobles y llamar al resultado $X$ . Entonces es relativamente fácil demostrar que $X$ no es birracional a una variedad proyectiva suave con un haz canónico nef. En su momento se pensó que esto era una prueba de que los modelos mínimos no existían en dimensiones superiores, pero luego Reid y Mori se dieron cuenta de que sólo significa que los modelos mínimos no tienen por qué ser lisos. (N.B.: La respuesta de David, aceptada anteriormente, empieza diciendo que un modelo mínimo debe ser no singular. Dice que es demasiado ambicioso, pero puede que no esté absolutamente claro para todo el mundo que esto significa imposible como se ha dicho. Y prometí un comentario sobre por qué $2$ -Los modelos mínimos de dimensión son suaves. La cuestión es que los modelos mínimos no tienen terminal singularidades. Resulta que las singularidades terminales son suaves en codimensión $2$ Así que, en particular, un $2$ -La singularidad terminal de una dimensión es realmente suave. Así pues, se podría argumentar que incluso los modelos mínimos de superficies tienen singularidades terminales, es decir, esa es la clase natural de singularidades para un modelo mínimo. Sucede que en la dimensión $2$ Estas singularidades son indistinguibles de los puntos suaves).
De todos modos, queremos $K_X$ ser nef y para obtenerlo queremos contratar curvas que sean $K_X$ -negativo. Resulta que esto se puede hacer, pero esto es el resultado de algunos resultados muy profundos de Mori, Kollár, Kawamata, Reid, Shokurov y otros. Ahora bien, ya en la dimensión $2$ conseguimos algo más que soplar hacia abajo $(-1)$ -curvas: el mapa gobernante de una superficie gobernada y $\mathbb P^2$ que se asigna a un punto son ambas contracciones de $K_X$ -curvas negativas. En general, así es como podemos acabar con un espacio de fibras de Fano. Es posible que la contracción de un $K_X$ -La curva negativa no es biracional, pero no pasa nada. Esto significa realmente que la clase de ciclo de esa curva cubre todo el $X$ y en particular no está regulado y nunca tendrá un modelo mínimo en el sentido de $K_X$ ser nefasto.
Si la contracción es birracional, todavía hay dos posibilidades: que sea una contracción divisoria o una contracción pequeña. La primera significa que el conjunto excepcional es un divisor, la segunda que es más pequeño que eso. Ahora bien, ya la primera puede traer singularidades, pero no son tan malas y el programa puede continuar.
Cuando la contracción es pequeña, hay varios problemas. Simplemente, las singularidades se vuelven demasiado malas. La maldad se manifiesta principalmente en que la singularidad no es $\mathbb Q$ -Gorenstein, eso es, $K$ ya no será $\mathbb Q$ -Cartier que por otra parte es necesario. Y no es que esto pueda ser así, sino que lo será con toda seguridad: si el objetivo tuviera un $\mathbb Q$ -Cartier $K$ , se podría retirar, al menos numéricamente (o se podría retirar algo de potencia). El retroceso tendría que coincidir con $K$ arriba ya que el mapa es un isomorfismo en codimensión $1$ . Sin embargo, un pull-back es necesariamente trivial en la fibra del mapa, pero la fibra fue elegida para ser $K$ -negativo. Esto es una contradicción, por lo que el objetivo no puede tener un $\mathbb Q$ -Fajo canónico de Cartier.
Los flips se inventaron para remediar esta situación: la razón original para querer contratar era "deshacerse" de este $K$ -Curva negativa, así que vamos a deshacernos de ella de una manera diferente. Siendo $K$ -negativo es realmente una condición de curvatura y dice algo sobre el haz normal de la curva dentro de la variedad. (Vale, hay que ajustar esto ligeramente para las singularidades, pero no estoy escribiendo un artículo preciso aquí). Así que la idea del giro es la siguiente: cambiemos el haz normal de la curva. Por lo tanto, vamos a "cortarla" y ponerla de nuevo con el haz normal opuesto, así que de una manera "volteada". (Nota: este es el $3$ -En las dimensiones más altas no sólo se invierten las curvas, pero esto puede ser mejor que se delegue en otro lugar).
Supongo que escribí un montón de cosas sólo para decir eso y algunas personas ya han dicho cosas similares, pero tal vez este pequeño ensayo da una nueva visión.
Para responder a tu pregunta sobre si existe una construcción similar en otro lugar, la respuesta es "sí". Una "vuelta" es como una "cirugía" en topología. Pero no soy un experto en eso. En realidad, sólo para incluir un descargo de responsabilidad: tampoco pretendo ser un experto en volteos.
