Resolver la ecuación diferencial $\frac{dy}{dt}=e^{t-y}$

Question

Estoy trabajando en la ecuación $$\frac{dy}{dt}=e^{t-y},\qquad y(0) = 1$ $

Esto es lo que he intentado llegar a su solución exacta: $$\frac{dy}{dt}=e^{t}e^{-y}$ $ $$\frac{1}{e^{-y}}dy=e^{t}dt$ $ $$e^{y}dy=e^{t}dt$ $ $$\int e^{y}dy=\int e^{t}dt$ $ $$e^{y}=e^{t}+C $ $ $$e^{1}-e^{0}=C <y=1, t=0>$ $ $$e^{1}-1=C$ $

volver:

$$e^{y}=e^{t}+\ln(e^{1}-1) $$ $$\ln(e^{y})=\ln(e^{t}+e-1) $$ $$y=\ln(e^{t}+e-1)$$

Látex me hizo ver mi problema, gracias por ayudar Si respondiste!

Answer 1

Eres bien hasta que has intentado tomar logaritmos de ambos lados. En primer lugar, no sabes que $C>0$ inicialmente, por lo paso aun no puede tener sentido. En segundo lugar, lo más importante, no es verdad que el $\ln(e^y - e^t) = \ln(e^y) - \ln(e^t)$. En lugar de otro debe dejar $e^t$ en el otro lado y hacer:

$$ e ^ y = e ^ t + C \\ \ln(e^y) = \ln (e ^ t + C) \\ y = \ln (e ^ t + C) $$

Answer 2

Tu error fue donde usted: $$e^{y}-e^{t}=C \implies \ln(e^{y})-\ln(e^{t})=C$ $

En su lugar, usted debe tener: $$e^{y}-e^{t}=C \implies \ln(e^{y}-e^{t})=C$ $

(Enchufo los valores de $y$ y $t$ en el lado derecho de la implicación anterior. No hay necesidad de resolver más de $C$.)

Answer 3

$e^y = e^t + C$ y desde $y(0) = 1$ y $e = 1 + C$ % que $C = e - 1$y $y = \ln{(e^t+e-1)}$