Una propiedad de campo finito de orden $2^n$

Question

Supongamos que $a$ y $b$ son elementos de un campo finito de orden $2^n$ $n$ impar y $a^2+ab+b^2=0$. ¿Es necesario que $a$ y $b$ debe ser cero?

Entiendo que el campo tiene característica $2$ pero no saben cómo utilizar el hecho de que el $n$ es extraño, por favor ayuda.

Answer 1

Si $b$ no 0 y $a/b$ sería una raíz de $x^2 + x + 1$, que es irreducible sobre ${\mathbf F}_2$. Mira el tamaño del campo ${\mathbf F}_2(a/b)$ y el tamaño del campo que está trabajando en eso tiene orden $2^n$.

Answer 2

Si $a=b$ y $a^2+ab+b^2=3a^2=a^2=0$ y $a=0=b$, hemos terminado.

Supongamos que $a\neq b$.

Observe que $0=(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$. Así, $a^3=b^3$.

Reivindicamos que $a=0$ y $b=0$.

Si $a\neq 0$ y $(a^{-1}b)^3=1$ y el orden multiplicativo de $a^{-1}b$ en el multiplicative grupo $F-\{0\}$ radica en $1$ $3\not\mid |F-\{0\}|=2^n-1$. Por lo tanto, $a^{-1}b=1$ y $a=b$, una contradicción. Por lo tanto, $a=0$. Por un argumento similar, tenemos $b=0$.