Si $G$ es un grupo finito y tiene a más de un subgrupo de orden arbitrario (por supuesto, dividir el orden de $G$) podríamos deducir ese $G$ es cíclico?
Respuestas
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De hecho, algo incluso más fuerte es la verdadera (la original pregunta ya ha sido respondida en los comentarios).
Suponga que $G$ es un grupo finito y deje $\pi$ el conjunto de los números primos dividiendo $|G|$.
Para cada una de las $p\in \pi$, vamos a $n_p$ ser la potencia más grande de $p$ que divide $|G|$.
A la conclusión de que la $G$ es cíclico, es suficiente para suponer que el $G$ tiene al menos un subgrupo de orden $p^{n_p}$ por cada $p\in \pi$ y que para cada una de las $p\in \pi$ no es un número natural $m_p$ $1\leq m_p\leq n_p - 1$ tal que $G$ tiene al menos un subgrupo de orden $p^{m_p}$. Excepto que si $2\in \pi$ $n_2\geq 3$ tenemos que requieren $m_2\geq 2$.
Prueba: La primera condición implica que todos los subgrupos de Sylow son normales, por lo que es suficiente para mostrar que todos los subgrupos de Sylow son cíclicos.
Pero si un $p$-grupo de orden $p^a$ tiene un único subgrupo de orden $p^b$ algunos $1\leq b\leq a-1$ entonces es cíclico, a menos que $p=2$, $b=1$ y el grupo es generalizada cuaterniones (este es un resultado estándar en $p$-teoría de grupos, y una referencia se puede encontrar en, por ejemplo, Berkovich, el libro de los grupos de primer poder de la orden). Esto completa la prueba debido a nuestros requerimientos extra al $2\in \pi$.
GmonC
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114
Si usted sabe del teorema de Lagrange y el hecho de que un grupo cíclico de orden$~n$ tiene exactamente un subgrupo cíclico de orden$~d$ siempre $d$ divide$~n$, entonces usted puede comprobar esto mediante la comparación de lo finito grupo$~G$ y el grupo cíclico $C_n$ orden $n=|G|$. Para cualquier $d$ uno ve como se sigue que no puede haber más elementos de orden$~d$$~G$ de los que hay en$~C_n$. Con el fin de tener cualquiera de estos elementos en todos los en$~G$, uno debe tener $d\mid n$ por Lagrange, y $G$ debe tener al menos un subgrupo cíclico de orden$~d$ (distribuido por dicho elemento); pero, por hipótesis, este es entonces el único de tales subgrupo cíclico de $G$, y todos los elementos de orden$~d$ son miembros de ella. En el ínterin $C_n$ también tiene un subgrupo cíclico de orden$~d$; los dos subgrupos cíclicos contienen el mismo número de elementos de orden$~d$.
Ahora si no hay elementos en $G$ orden$~n$, habría stricly menos elementos de los que$~C_n$ (que tiene elementos de orden$~n$); esto estaría en contradicción con $n=|G|$. Por un grupo de orden $n$ con un elemento de orden$~n$ es cíclico.
Aref
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248
He encontrado esta prueba de Keith Conrad folleto acerca de Sylow de aplicaciones. Nuestro argumento tiene dos pasos: verificar el teorema de los grupos del primer poder de la orden y, a continuación, utilizar Sylow uno para derivar el caso general desde el primer poder de caso. Paso 1: Vamos a #G=$p^k$ donde p es pr prime,$k≥1$, y suponga que G tiene al menos un subgrupo de cada tamaño. Para mostrar que G es cíclico, sea g un elemento de G con la máxima orden. Queremos G=< g >.Elija cualquiera de los h pertenecen a G, entonces h es una potencia de p por Lagrange. Sea g tiene orden de $p^m$ y h tienen el fin de $p^n$, lo $n≤m$. A continuación, $p^n$ divide $p^m$, por lo que existe un subgrupo de la cíclico grupo de < g > con el fin de $p^n$ . También < h > tiene orden de $p^n$, por lo que nuestra hipótesis de que G tiene al menos un subgrupo de acuerdo a su tamaño implica la < h > se encuentra en < g >, de modo que h pertenece . Por lo tanto, < g > contiene G. (Este argumento me dijo Trevor Hyde.) Paso 2: sea G grupo con más de un subgrupo de acuerdo a su tamaño. Por lo tanto, $n_p=1$ para todos los primos p. Para diferentes números primos p y q dividen #G, los elementos de el p-Sylow y p-subgrupo de Sylow conmuta con cada uno de los otros. Cualquier subgrupo de G tiene al menos un subgrupo de cualquier tamaño (de lo contrario G sí habría dos grupos del mismo tamaño), así que por el Paso 1 de la p-subgrupo de Sylow de G es cíclico. Elegir un generador de $g_p$ de la p-subgrupo de Sylow de G. Estos $g_p$ s conmutan como p varía, por el párrafo anterior, y sus órdenes son relativamente primos, de modo que el producto de la $g_p $s tiene un orden igual al producto de los tamaños de los subgrupos de Sylow de G. Este producto de tamaños #G, entonces G es cíclico.
