Mostrando ese polinomio mixta complicada siempre es positivo

Question

Quiero mostrar que

$\left(132 q^3-175 q^4+73 q^5-\frac{39 q^6}{4}\right)+\left(-144 q^2+12 q^3+70 q^4-19 q^5\right) r+\left(80 q+200 q^2-243 q^3+100 q^4-\frac{31 q^5}{2}\right) r^2+\left(-208 q+116 q^2+24 q^3-13 q^4\right) r^3+\left(80-44 q-44 q^2+34 q^3-\frac{23 q^4}{4}\right) r^4$

es estrictamente positivo siempre que $q \in (0,1)$ (numéricamente, esto es para todos los $r \in \mathbb{R}$, aunque sólo estoy interesado en $r \in (0,1)$).

Es que incluso posible analíticamente? Alguna idea de hacia una prueba sería muy apreciada. Muchas gracias!

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EDIT: he Aquí más información.

Vamos $f(r) = A + Br + Cr^2 + Dr^3 + Er^4$ sea la función definida anteriormente.

Entonces se cumple que

$f(r)$ es estrictamente convexa de la función en $r$ $q \in (0,1)$, $f(0) > 0$, $f'(0) < 0$, y $f'(q) > 0$. Por lo tanto, para la correspondiente $q \in (0,1)$, $f(r)$ alcanza su mínimo para algunos $r^{min} \in (0,q)$.

$A$ es positivo y estrictamente creciente en a $q$ correspondiente a $q \in (0,1)$,

$B$ es negativo y estrictamente decreciente en a $q$ correspondiente a $q \in (0,1)$,

$C$ es positivo y estrictamente creciente en a $q$ correspondiente a $q \in (0,1)$,

$D$ es negativo y no-monotónica en $q$, y

$E$ es positivo y estrictamente decreciente en a $q$ correspondiente a $q \in (0,1)$.

Answer 1

He encontrado un argumento que reduce la prueba a la positividad en $]0,1[$ de cinco univariado de polinomios con coeficientes enteros, es decir,

$$ \begin{array}{lcl} A &=& 80-44 q-44 q^2+34 q^3-\frac{23 q^4}{4} \\ & & \\ B_1(w)&=& -92w^{18} - 828w^{17} + 207w^{16} - 1952w^{15} + 987w^{14} + 7372w^{13} - 5693w^{12} \\ & & + 21976w^{11} - 15817w^{10} - 5476w^9 + 10813w^8 - 57744w^7 + 55457w^6 \\ & & - 52140w^5 + 44145w^4 - 13608w^3 + 12393w^2 \\ & & \\ B_2(w) &=& -23w^8 - 44w^6 + 94w^4 + 212w^2 + 81 \\ & & \\ C_1(w) &=& -368w^{27} - 6992w^{26} - 29063w^{25} + 23289w^{24} - 145610w^{23} + 122422w^{22} \\ & &+ 383221w^{21} - 739371w^{20} + 2438232w^{19} - 2093000w^{18} - 785870w^{17} \\ & & + 4785874w^{16} - 14449804w^{15} + 16096660w^{14} - 10344110w^{13} \\ & & - 1681358w^{12} + 26043752w^{11} - 38527768w^{10} + 41520789w^9 \\ & & - 36111627w^8 + 18921222w^7 - 8407962w^6 + 1983609w^5 + 1003833w^4 \\ & & \\ C_2(w) &=& 92w^{15} + 920w^{14} + 713w^{13} + 2665w^{12} + 1678w^{11} - 5694w^{10} \\ & & - w^9 - 21977w^8 - 6160w^7 - 684w^6 - 11497w^5 + 46247w^4 \\ & &- 9210w^3 + 42930w^2 - 1215w + 12393 \\ \end{array} \etiqueta{1} $$

Así que si usted no se preocupan mucho acerca de la pregunta y solo necesitas ser del 90%, sólo tiene que enchufar los polinomios en su favorito de matemáticas de software para calcular numéricamente las dimensiones mínimas de los polinomios univariados, y comprobar que los mínimos son, de hecho, no negativo.

Si, sin embargo, insisten en estar 100% seguro, usted puede utilizar un poco más sofisticado software para descomponer los polinomios y demostrar su positividad completamente rigurosamente (yo lo hice con PARI-GP y pueden hablar de lo feo computacional detalles si usted está interesado).

Yo denotar su polinomio por $M=M(q,r)$. Un método clásico para mostrar que algo es positivo es escribir como una suma de cuadrados. Para garantizar el cese de la computación, también hacemos grados (en $r$) disminución : el polinomio tiene grado $4$$r$, que se escribe como (plaza de algunas polinomio)+(positivo polinomio de grado $2$$r$), etc.

Deje $A,B,C,\alpha,\beta,\gamma$ términos se definen más adelante. Entonces

$$ M=M(q,r)=A\bigg((r-\alpha)(r-\beta)\bigg)^2+B(r-\gamma)^2+C \etiqueta{2} $$ con $A,B$ $C$ positiva, lo que concluye la prueba. Esto fue muy fácil, ¿no crees ? En realidad, tal vez me debería molestar a explicar lo que los términos de $A,B,C,\alpha,\beta$$\gamma$.

$A$ es, por supuesto, el coeficiente inicial adjunta a $r^4$$M(q,r)$. Algunos experimentos numéricos sugieren que la función $N(q)={\sf inf}_{r\in {\mathbb R}}M(q,r)$ tiene un polo en$q=1$, $N(q) \sim_{q \to 1} C\sqrt{1-q}$ para algunas constantes $C$. Esto motiva el cambio de las variables de $q=1-w^2$. Al $q\in [0,1]$, podemos tomar $w\in [0,1]$ también. Además, los valores numéricos mostrar que el mínimo de $N$ se alcanza generalmente a "cerca" $1-w$. Así que vamos a tomar $\alpha=1-w$. Siguiente, $\beta$ es para este valor de $\alpha$ el valor único de hacer la $r^3$ términos cancelar en (1), es decir,

$$ \beta=\frac{-23w^9 + 49w^8 - 44w^7 - 12w^6 + 94w^5 - 314w^4 + 212w^3 - 124w^2 + 81w + 81}{-23w^8 - 44w^6 + 94w^4 + 212w^2 + 81} \etiqueta{3} $$

A continuación, $B,C$ $\gamma$ son definidas de forma exclusiva ya que corresponden a la forma canónica de la trinomio $M-A\bigg((r-\alpha)(r-\beta)\bigg)^2$. Tenemos

$$ B=B(w)=\frac{B_1(w)}{B_2(w)}, C=C(w)=\frac{C_1(w)}{C_2(w)} \etiqueta{4} $$

donde $B_1,B_2,C_1$ $C_2$ a $(1)$. Por último, añado algunos PARI-GP, que permite calcular los polinomios :

martin0=132*(q^3)-175*(q^4)+73*(q^5)-(39/4)*(q^6)

martin1=-144*(q^2)+12*(q^3)+70*(q^4)-19*(q^5)

martin2=80*q+200*(q^2)-243*(q^3)+100*(q^4)-(31/2)*(q^5)

martin3=-208*q+116*(q^2)+24*(q^3)-13*(q^4)

martin4=80-44*p-44*(q^2)+34*(q^3)-(23/4)*(q^4)

martin=martin0+martin1*r+martin2*(r^2)+martin3*(r^3)+martin4*(r^4)

rewritten_martin4=(81/4)+53*(1-q)+(27/4)*((1-q)^2)+(67/4)p((1-q)^2)+(23/4)p((1-p)^3)

check1=martin4-rewritten_martin4

term_called_m=subst(martin,q,1-(w^2))

constant_called_a=subst(martin4,q,1-(w^2))

alfa=1-w

plazo1=term_called_m-constant_called_a*(((r-alfa)*(r-beta))^2)

should_be_zero1=polcoeff(plazo1,3,r)

beta0=-polcoeff(should_be_zero1,0,beta)/polcoeff(should_be_zero1,1,beta)

term2=term_called_m-constant_called_a*(((r-alfa)*(r-beta0))^2)

constant_called_b=pollead(term2,r)

b1=numerador(constant_called_b)

b2=denominador(constant_called_b)

rewritten_b1=w^2*(1-w)(11178+1215(1-w)+(w^2)(40022+(1-w)\

((169528389737/244140625)+(690889833236/48828125)w+((w-(1/5))^2)\

((540432547763/9765625)+(16452083708/390625)w+(14109073812/390625)(w^2)+\

(w^2)(1-w)(13421226/78125 +333572514/15625*w +62317552/3125*w^2+\

2068768/125*w^3 +1060753/125*w^4+82041/25*w^5 +5704/5*w^6+92*w^7)))))

check2=rewritten_b1-b1

rewritten_b2=81+(w^2)(212+(w^2)(27+(1-w^2)*(23*w^2 + 67)))

check3=rewritten_b2-b2

term3=term2-constant_called_b*(r-gammaa)^2

should_be_zero2=polcoeff(term3,1,r)

gamma0=-polcoeff(should_be_zero2,0,gammaa)/polcoeff(should_be_zero2,1,gammaa)

constant_called_c=simplificar(term2-constant_called_b*(r-gamma0)^2)

c1=(-numerador(constant_called_c))

c2=(denominador(constant_called_c))

all_checks=[check1,check2,check3]

Answer 2

Porque quiere demostrar que esto es siempre positivo, considerar lo que sucede cuando $q$ y $r$ conseguir realmente grandes. Los polinomios con las mayores potencias dominará el resultado.

Puede solucionar esto fácilmente por aproximación el valor final con un gran número de las desigualdades.

Answer 3

Yo haría una mezcla numérica y enfoques analíticos. Voy a considerar las $r<1$ solamente. En primer lugar, tenga en cuenta que un aumento de la progresión geométrica ha positiva de las diferencias finitas, de todas las órdenes y de las diferencias, forman una progresión geométrica de sí mismos. Por lo tanto, tiene sentido para descomponer las progresiones geométricas en primaria polinomios de la forma $1$, $x$, $x(x-1)/2$, $x(x-1)(x-2)/6$, etc. (sólo a partir de la derecha a su fin porque nuestra progresiones están disminuyendo): $$ (1,r,r^2 r^3,r^4)=r^4(1,1,1,1,1)+r^3(1-r)(4,3,2,1,0)+r^2(1-r)^2(6,3,1,0,0)+\dots $$ y lo mismo para $q$. El siguiente programa (Asíntota) ¿la descomposición. Soy demasiado perezoso para reescribir la salida, pero si se ejecuta y mira el resultado $5\times 7$ matriz, vas a ver con un ojo desnudo que la diagonal que va de la parte inferior izquierda a la superior derecha definir la no-negativo polinomios, que es el final de la historia.

verdadero[][] C=
{
{0,0,0,132,-175,73,-39/4},
{0,0,-144,12,70,-19,0},
{0,80,200,-243,100,-31/2,0},
{0,-208,116,24,-13,0,0},
{80,-44,-44,34,-23/4,0,0}
};

verdadero[][] X=
{
{1,1,1,1,1},
{4,3,2,1,0},
{6,3,1,0,0},
{4,1,0,0,0},
{1,0,0,0,0},
};

verdadero[][] S=
{
{1,1,1,1,1,1,1},
{6,5,4,3,2,1,0},
{15,10,6,3,1,0,0},
{20,10,4,1,0,0,0},
{15,5,1,0,0,0,0},
{6,1,0,0,0,0,0},
{1,0,0,0,0,0,0},
};

verdadero[][] Z=X*C*transpose(Y);
escribir(Z);

pause();