Doble a la doble norma es la norma original (?)

Question

Tengo las siguientes preguntas acerca de la doble normas :

¿Cómo se puede demostrar que el dual del dual de la norma es, de hecho, el original de la norma? Esto es lo que tengo hasta ahora:

Si he a $\|y\|_* $ como la norma dual de $\|y\|$ entonces sé que $\\$

$\|y\|_* = \max\limits_{\large{x}} \ x^Ty $ $ \|x\| \leq 1 $

Con el fin de tomar el doble de esto quiero escribir el Lagrangiano de la siguiente manera:

$$ L(x,u) = - x^Ty + u*(\|x\| -1) $$

He reescrito esta como:

$$ L(x,u) = - x^Ty + u*\sqrt{\Big(\sum x_i^2\Big)} \ - u $$

Ahora, teniendo el doble de este minimizando el Lagrangiano se obtiene el siguiente :

$$\|y\|_{**} = \min_{\large{x}} L(x,u)$$

No estoy seguro de cómo hacer esto minimización. Entiendo que este es probablemente bastante simple, pero como soy bastante nuevo en esto y cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

El hecho de que el doble doble de la norma es igual a la original de la norma en caso de finito-dimensional del espacio es equivalente al hecho de que el correspondiente espacio de Banach es reflexiva. Por James teorema, un espacio de Banach $B$ es reflexiva si y sólo si cada funcional lineal continua en $B$ alcanza su máxima sobre la bola unidad cerrada en $B$. Seguramente eso es cierto para finito de espacios dimensionales con las normas, así dual dual norma debe ser equivalente a la original de la norma.

He intentado encontrar una solución simple, echar un vistazo.

1. Vamos a demostrar que $\|y\|_{**} \le \|y\|$. Tenemos $$\|y\|_* = \max_{x\ne 0}\frac{x^Ty}{\|x\|}$$ y $$\|y\|_{**} = \max_{z\ne 0}\frac{z^Ty}{\|z\|_*}.$$ La última ecuación puede escribirse como $$\|s\|_{**} = \max_{z\ne 0}\frac{z^Ty}{\max_{x\ne 0}\frac{x^Tz}{\|x\|}} = \max_{z\ne 0} \left(z^Ty\cdot \min_{x\ne 0}\frac{\|x\|}{x^Tz}\right) = \max_{z\ne 0} \min_{x\ne 0} \|x\|\frac{z^Ty}{z^Tx}.$$ Por max-min desigualdad obtenemos $$\|s\|_{**}\le \inf_{x\ne 0}\sup_{z\ne 0}\|x\|\frac{z^Ty}{z^Tx} = \inf_{x\ne 0}\|x\|\cdot\sup_{z\ne 0}\frac{z^Ty}{z^Tx} = \inf_{x\ne 0}\|x\|\cdot\left\{ \begin{array}{lc} \alpha, & y = \alpha x \\ +\infty, & y \ne \alpha x \end{array} \right. $$ La última conversión es fácil de comprobar: si $x$ $y$ son linealmente independientes, podemos encontrar $z$ tal que $(x,z)=0$ mientras $(y,z)\ne 0$. Así que en $$ \|s\|_{**} \le \inf_{x\ne 0} \alpha\cdot\|x\| = \inf_{\alpha\ne 0} \alpha\cdot\left\|\frac{y}{\alpha}\right\| = \|s\|. $$

2. Por Hahn-Banach teorema, $$\|s\|=\max_{x\ne 0}\frac{x^Ty}{\|s\|_*},\ \ \ \|s\|_*=\max_{x\ne 0}\frac{x^Ty}{\|s\|_{**}} $$ Por lo tanto podemos aplicar la misma lógica que en 1. para demostrar $\|y\|\le \|y\|_{**}$, finalmente la obtención de $\|y\| = \|y\|_{**}$.

P. S. tengo una fuerte sensación de que hay algo extraño e innecesario en esta prueba. Pero no puedo ver lo que. Alguien puede ayudar?..