¿Qué locales homomorphisms, geométricamente?

Question

A falta de un nombre mejor, digamos que un anillo homomorphism $f : A \to B$ es local si (y conservas) refleja invertibility, es decir, $f (a)$ es invertible en a $B$ (si y sólo si $a$ es invertible en a $A$. (Un anillo local homomorphism es entonces un local homomorphism en este sentido cuyo codominio es un anillo local; tenga en cuenta que el dominio es entonces automáticamente un anillo local.)

Pregunta. Hay una propiedad de morfismos $\operatorname{Spec} f : \operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$, expresable geométricamente, que es equivalente a la propiedad de $f : A \to B$ local?

---

En vista de las primeras respuestas que se dan, aquí es una conjetura:

Conjetura. $f : A \to B$ es un local homomorphism si y sólo si el conjunto de la teoría de la imagen de $\operatorname{Spec} f : \operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$ contiene todos los puntos cercanos (de $\operatorname{Spec} A$).

La conjetura es verdadera si $B$ es un anillo local, y también al $f : A \to B$ es surjective, como se muestra por @zcn a continuación. En el caso general, el "si", la dirección se tiene: en efecto, si cada ideal maximal de a $A$ es la preimagen de algún ideal de $B$, $f : A \to B$ preserva la no-unidades, por lo tanto es local. Lo acerca a la inversa?

Answer 1

Yo no sé acerca de una puramente geométrica de la propiedad, pero he aquí una más algebraicas explícitas versión (por cierto, desde locales homomorphism ya tiene una clara (y diferente!) significado para mí, yo te diga, en cambio, refleja unidades):

Observe que si $f : A \to B$ refleja unidades, a continuación, $f : A \to f(A)$ refleja unidades. Por lo tanto consideramos que sólo surjective anillo de mapas $f : A \twoheadrightarrow A/I$ ($I = \ker f$), y para estos no hay una caracterización: $\DeclareMathOperator{\Rad}{\operatorname{Rad}}$ $\DeclareMathOperator{\Spec}{\operatorname{Spec}}$

La proposición: La proyección canónica $\pi : A \to A/I$ refleja unidades iff $I \subseteq \Rad(A)$ (Jacobson radical).

Prueba: Supongamos $I \subseteq \Rad(A)$. Si $a \in A$ es una unidad de mod $I$, $1 - ab \in I$ algunos $b \in A$, lo $ab \in 1 + I \subseteq 1 + \Rad(A) \subseteq A^\times$, por lo tanto $a, b \in A^\times$. Por el contrario, si $I \not \subseteq \Rad(A)$, entonces no existe $a \in I$, $b \in A$ con $1 - ab \not \in A^\times$, pero $\pi(1 - ab) = \overline{1}$ es una unidad en $A/I$.

Sin surjectivity, la situación se vuelve extraño - todavía se puede decir que si $f : A \to B$ refleja unidades, a continuación,$\ker f \subseteq \Rad(A)$, pero el recíproco no necesita tener (por ejemplo, como se mencionó, cualquier no-trivial de la localización de un dominio es un contraejemplo). Si $Z$ es el esquema de la teoría de la imagen de cierre de $\Spec(B) \to \Spec(A)$, luego como de costumbre, el cierre de la inmersión $Z \hookrightarrow \Spec(A)$ es fácil de tratar, pero la epimorphism $\Spec(B) \to Z$ no lo es.

Actualización: Con respecto a tu conjetura, el clásico $k[x,y] \to k[x,y]$, $x \mapsto x, y \mapsto xy$ parece ser un contraejemplo. Este mapa refleja unidades (todo se concentra en el grado $0$), pero no es surjective como un mapa de variedades, por lo tanto no sobre cerrado puntos. Observe que la imagen del factor a través de una adecuada abrir subscheme.

Answer 2

Una reformulación trivial es la siguiente: un morfismo de regímenes afines $X \to Y$ es local cuando el subsistema abierto sólo principal de los factores que $Y$ $Y$ $X \to Y$.

(No sigue que $Y$ es el subsistema abierto sólo de % que $Y$ $X \to Y$factores.)