Número de factores polinomiales de $a^n-b^n$?

Question

Este es un número teórico problema que me descubrí a mí misma. Deje $f(n)$ el número de factores de $a^n-b^n$ con coeficientes enteros cuando su completamente factorizada. Por ejemplo:

• $f(1)=1$, debido a $a-b$ no puede ser un factor más.
• $f(2)=2$, debido a $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
• $f(3)=2$, debido a $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
• $f(4)=3$, debido a $a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$
• $f(6)=4$, debido a $a^6-b^6=(a-b)(a+b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$

He insertado la secuencia en OEIS, y me pareció que era exactamente $\tau(n)$, el número de divisiors de $n$. Pero ¿cómo podría demostrarlo? Mi idea era mostrar dos cosas:

• $f(p^n)=n+1$
• $f(pq)=f(p)f(q)$ si $\gcd(p,q)=1$.

Para demostrar la declaración básica de que $f(p)=2$, empecé a $b=1$ y el uso de números complejos. He podido demostrar algunos casos pequeños, es decir,$p=3$$p=5$, mirando a la suma y de los productos de las raíces complejas. Pero yo no podía generalizar.

También trató de utilizar la identidad de $\gcd(x^a-1, x^b-1)=x^{\gcd(a,b)}-1$, pero esto no dice nada acerca de otros posibles factores de menor grado.

Por último, he intentado implicar la teoría de grupo, debido a que el número de subgrupos de $C_n$ $\tau(n)$ y las raíces complejas de forma cíclica grupo. Pero no tengo idea de cómo proceder.

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El problema ha sido resuelto, pero tiene un buen corolario:

El número de factores de $a^{2n}-b^{2n}=(a^n-b^n)(a^n+b^n)$$\tau(2n)$, y el número de factores de $a^n-b^n$$\tau(n)$. Por lo $a^n+b^n$ $\tau(2n)-\tau(n)$ polinomio factores.

Similiarly, se puede obtener:

Conclusión:

• El número de factores de $a^n-b^n$$\tau(n)$.
• El número de factores de $a^n+b^n$$\tau(2n)-\tau(n)$.
• El número de factores de $a^{2n}+a^nb^n+b^{2n}$$\tau(3n)-\tau(n)$.
• El número de factores de $a^{2n}-a^nb^n+b^{2n}$$\tau(3n)-\tau(2n)+\tau(n)$.

Answer 1

Como Lucian señaló que esto se sigue inmediatamente de las propiedades de cyclotomic polinomios. Tenemos la factorización (en polinomios irreducibles sobre $\Bbb{Q}$): $$ x^n-1=\prod_{d\mediados n}\Phi_d(x). $$ De su observación se sigue de esto, ya que los rendimientos de la factorización: $$ a^n-b^n=b^n\left[\left(\frac ab\right)^n-1\right]=b^n\prod_{d\mediados n}\Phi_d\left(\frac ab\right)= \prod_{d\mediados n}b^{\gr \Phi_d}\Phi_d\left(\frac ab\right).$$ The multiplier $b^{\gr\Phi_d}$ exactly cancels the denominator created by plugging in $x=a/b$ to $\Phi_d(x)$.

Los factores que se han encontrado son exactamente los polinomios $b^{\deg \Phi_d}\Phi_d(\frac ab)$ - uno para cada divisor de $n$.