Cómo Aharony et. ¿al concluir que todos los campos escalares del multiplet supergravedad son periódicos?

Question

Esta pregunta es para alguien que ha leído/pasado por el papel por encima o sabe algo acerca de AdS/CFT. El papel se puede encontrar aquí.

En la página 46, eq. (2.33), el autor encuentra soluciones para el campo escalar de la ecuación de $(\Delta- m^2 ) \phi = 0$ $AdS_{p+2}$ fondo $\phi = e^{i \omega \tau} G(\theta) Y_l(\Omega_p)$, con las funciones de $G$ $Y$ definido sólo por debajo de esta ecuación.

En la página 51, en la ecuación (2.54), el autor muestra que cuando $p=3$, $\omega$ es cuantificada en múltiplos de $\frac{1}{R}$, es decir,$\omega R \in {\mathbb Z}$.

A continuación pasa a estado de los siguientes

Esto significa que todos los campos escalares en la supergravedad multiplet son periódicas en $\tau$ con el período de $2\pi$, ...

No veo cómo llega a esa conclusión. Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

(2.54), los que terminen la prueba de que $\omega R$ es un entero, como usted bien notado. $\omega$ es el doble (impulso) variable en el tiempo-como coordinar $\tau$, de modo que las funciones de onda son proporcionales a $$\exp(-i\cdot\omega\cdot R\tau) $$ así que si $\omega R$ es un entero, todas esas funciones de onda y sus combinaciones son periódicas en $\tau$ con periodicidad $2\pi$. Uno puede comprobar en eqn (2.23) que $\tau$ se define como la adimensional timelike de coordenadas a lo largo de la hyperboloid (2.20), por lo $2\pi$ es la "normal" periodicidad lo que significa que las funciones de la universalización de la cobertura puede ser reducido a la original, hyperboloid (2.20) de nuevo.

Quiero destacar que esta conclusión "la hyperboloid es suficiente" sólo es válida en SUGRA, es decir, un pequeño subconjunto de los operadores en el CFT. General fibrosa los estados tienen fraccionario, el continuo de frecuencias.