Cálculo de la expectativa de $X=$ el número de fracasos hasta el éxito de $r^{th}$

Question

Necesito calcular la expectativa de $X=$ el número de fallos de hasta el $r$-ésimo éxito en una infinita serie de experimentos de Bernoulli con $p$ la probabilidad de éxito. ($q=1-p$ la probabilidad de fracaso)

Mi solución:

Pensé $$P(X=x)={x+r \choose x}q^xp^r$$ (is this correct?) and $x\geq 0$ (In other words, $X\sim Bin(x+r,q)$.

Por tanto, por definición, $\Bbb EX=\sum_{x=0}^\infty x{x+r \choose x}q^xp^r$.

Tratando de simplificar esto, me puse a \begin{align*} \frac{qp^r}{r!}\sum_{x=0}^\infty (x+r)(x+r-1) \ldots (x+1)xq^{x-1} & =\frac{qp^r}{r!}\left(\sum_{x=0}^\infty q^{x+r}\right)^{(r+1)}\\ & =\frac{qp^r}{r!}\left(q^r\sum_{x=0}^\infty q^{x}\right)^{(r+1)}\\ & =\frac{qp^r}{r!}(\frac{q^r}{1-q})^{(r+1)} \end{align*}

$(r+1)$ denota tomar la $(r+1)^{th}$, derivado en el respeto a $q$.

Ahora, ¿qué? ¿Cómo puedo simplificar la que más? Hay una forma más simple?

Answer 1

La variable aleatoria $X$ usted está estudiando tiene la distribución binomial negativa con parámetros de $r$ $1-p$ (hay varias notaciones, ver el enlace). También hay varias maneras de calcular su valor esperado, que debe ser igual a $$E[X]=\frac{r(1-p)}{p}=r\left(\frac1p-1\right)$$ Una manera de conseguir esto, es ver que se puede resumir $r$-los tiempos de la distribución geométrica (fallas a la primera de éxito). Otra prueba, cerca de su planteamiento se encuentra aquí. Tenga cuidado al interpretar los parámetros correctamente porque se refieren a errores y que se refieren a los éxitos.

Answer 2

Sea $N(r)$ el número previsto de ensayos hasta que el éxito de $r^{th}$ y $p$ la probabilidad de éxito. Hacer un ensayo. Este da: $$N(r)=1+(1-p)N(r)+pN(r-1)$% $ #%1 de #% es para el juicio y los otros términos representan el fracaso y el éxito.

Es trivial que $Where the $ y reordenar la fórmula da $N(0)=0$ donde $N(r)=N(r-1)+\frac 1p$. Ahora que $N(r)=\frac rp$ es el número de fracasos con $F(r)$ $