Me gustaría conocer algunas de las más importantes definiciones y teoremas de matrices semidefinite y definitivas y su importancia en el álgebra lineal. Gracias por tu ayuda
Respuesta
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Hay muchos usos para la definitiva y semi-definida matrices. Me pueden dar sólo algunos ejemplos, aunque, sin duda, yo se que faltan muchos.
Positivo-definida matrices la matriz análogos a los positivos números. Generalmente no es posible definir una constante de la noción de "positiva" para otras matrices de matrices simétricas. Como una consecuencia, positiva definida matrices son una clase especial de matrices simétricas (que de por sí son otro punto muy importante, en especial de la clase de matrices). Resulta que muchos útil de las matrices caen dentro de esta clase de la matriz de covarianza, superposición de matrices utilizadas en la química cuántica y la dinámica de las matrices utilizadas en el cálculo de las vibraciones moleculares (lo cual es positivo semi-definido).
La definición es una medida útil para la optimización. La formas cuadráticas en positiva definida matrices
$$\mathbf{x}^\mathrm{T}A\mathbf{x}$$ siempre son positivos para los no-cero $\mathbf{x}$ y son convexas. De forma análoga se mantienen los resultados para la negativa definitiva de las matrices. Esta es una muy deseable de la propiedad para la optimización, ya que garantiza la existencia de máximos y mínimos. Es propiedades como estas, por ejemplo, que permite el uso de la matriz Hessiana para optimizar multivariante funciones.Quizás igualmente (o más) importante, especialmente para un matemático, es el hecho de que la teoría de la (semi)definitiva matrices es increíblemente rico y hermoso campo. Hay cadenas de elegante resultados relativos a estas matrices, especialmente positivo-definida matrices. Que es motivación suficiente.
