¿Integrar cada lado de una ecuación con una variable diferente?

Question

Digamos que tengo

$\frac{dy}{dt} = a$ para alguna constante $a$

Así que

$dy = a dt$

$\int_{y0}^y dy = \int_{t0}^t a dt$

$y - y_0 = at - at_0$

¿Cómo es que se me permite integrar cada lado con respecto a una variable diferente?

Si tuviera una ecuación $y = 5x$ y diferencié el LHS con respecto a y, y el RHS con respecto a x obtendría $1 = 5$ ...por lo que diferenciar ambos lados en relación a diferentes variables no funciona. Sin embargo, ¿integrar sí lo hace?

Answer 1

Esto suele ser un poco sutil para la gente que se inicia en las ecuaciones diferenciales, pero en realidad sólo estás aplicando la integración por sustitución. Recordemos que para integración por sustitución tenemos $$\int_{x_0}^{x_1} f(u(x))u'(x)\ dx = \int_{u(x_0)}^{u(x_1)} f(u)\ du$$ Podemos escribir esto en la notación más familiar de Leibniz, abreviando $u(x_i)$ como $u_i$ en la siguiente forma $$\int_{x_0}^{x_1} f(u(x))\frac{du}{dx}\ dx = \int_{u_0}^{u_1} f(u)\ du$$ Si aplicamos esto a la ecuación diferencial $$\frac{dy}{dt} = a$$ entonces integramos ambos lados con respecto a $t$ $$\int_{t_0}^{t_1}1 \frac{dy}{dt}\ dt = \int_{t_0}^{t_1} a\ dt$$ Se puede reconocer el lado izquierdo de la ecuación de integración por subsunción con $f(y) = 1$ . Por lo tanto, tenemos $$\int_{y(t_0)}^{y(t_1)}1\ dy=\int_{y_0}^{y_1}dy$$ Y esto da la ilusión de integración con respecto a diferentes variables. Al final, es sólo una mnemotecnia inteligente. Si mantienes este proceso en mente, es realmente más intuitivo sólo manipular las diferenciales, sin embargo, así que no hay nada malo en lo que hiciste (y estoy seguro de que todos lo hacemos de todos modos). Sólo asegúrese de que usted entiende la mecánica subyacente detrás de la separación de variables.

Como señala amablemente James S. Cook, todos estos resultados son en gran medida la regla de la cadena disfrazada. Muchos resultados del cálculo que implican cambio de variables o reparametrización pueden remontarse en su origen a la regla de la cadena. Si no conoces las conexiones entre la regla de la cadena y la integración por sustitución, entonces diría que tienes que explorar bastante. La página de la wikipedia a la que se hace referencia más arriba debería servirle de punto de partida.