¿Qué conjunto de preferencias para tres candidatos es imposible?

Question

Hola, recientemente aparecí en una aptitud, hubo un problema que realmente no puedo entender, por favor proporciona alguna idea de cómo resolverlo. (disculpa por mi mal inglés.)

(Pregunta)-> Tres candidatos, Amar, Birendra y Chanchal se presentan a las elecciones locales. Se realizan encuestas de opinión que muestran que la fracción a de los votantes prefiere a Amar sobre Birendra, la fracción b prefiere a Birendra sobre Chanchal y la fracción c prefiere a Chanchal sobre Amar. ¿Cuál de lo siguiente es imposible?

(a) (a, b, c) = (0.51, 0.51, 0.51);
(b) (a, b, c) = (0.61, 0.71, 0.67);
(c) (a, b, c) = (0.68, 0.68, 0.68);
(d) (a, b, c) = (0.49, 0.49, 0.49);
(e) Ninguna de las anteriores.

Answer 1

Debes considerar los seis posibles órdenes (por preferencia) de los tres candidatos: $ABC,ACB,BAC,BCA, CAB,CBA$. (Asumiendo que no hay "empates" en la opinión de la gente).

La pregunta es: ¿Puedes asignar números no negativos a estos seis órdenes de tal manera que $a=ABC+ACB+CAB$, $b=ABC+BAC+BCA$ y $c=BCA+CAB+CBA$? Por ejemplo, vemos que $a+b+c=2ABC+ACB+BAC+2BCA+2CAB+CBA$, lo que implica que $1\le a+b+c\le 2$ es una condición necesaria.

Answer 2

Supongo que se le pregunta a la gente a quién le gusta más y a quién le gusta menos de A, B y C y el más preferido no puede ser el mismo que el menos preferido. Tenemos que resolver un sistema de ecuaciones lineales e inecuaciones.

Definimos la variable de tres letras como $abc$ la frecuencia relativa de que a una persona le guste más A y le guste menos C. Esto debería significar que A es preferido a B y C y B a C. Ahora obtenemos las siguientes cuatro ecuaciones:

$$\begin{eqnarray} abc + acb + cab & = & a \\ bac + bca + abc & = & b \\ cba + cab + bca & = & c \\ abc + acb + bca + bac + cab + cba & = & 1 \end{eqnarray}$$ La última significa que todas las frecuencias suman 1. Resolviendo este sistema de ecuaciones lineales, podemos eliminar 4 de las 6 variables y obtener

$$ \begin{eqnarray} abc &=& -x-y+b \\ bca &=& x \\ cab &=& y+a+c-1 \\ cba &=& -x-y-a+1 \\ bac &=& y \\ acb &=& x-b-c+1 \end{eqnarray} $$

(aquí introdujimos las nuevas variables $x$ e $y$ en lugar de $bca$ y $bac$ para hacer la notación más simple) ahora sabemos que

$$0 \le abc \le1, \; 0 \le acb \le 1, \ldots $$

y por lo tanto

$$ \begin{eqnarray} 0 &\le& -x-y+b &\le& 1 \\ 0 &\le& x &\le& 1 \\ 0 &\le& y+a+c-1 &\le& 1 \\ 0 &\le& -x-y-a+1 &\le& 1 \\ 0 &\le& y &\le& 1 \\ 0 &\le& x-b-c+1 &\le& 1 \end{eqnarray} $$

De la primera y la cuarta inecuación obtenemos $$ b-1 \le x+y \le b$$ y $$ -a \le x+y \le 1-a$$ y por lo tanto $$\min{\{-a,b-1\}} \le x+y \le \min{\{b,1-a\}}$$

Sabemos que $0 \le a$, $b\le 1$, $x \ge 0$ y $y \ge 0$. Por lo tanto, $$0 \le x+y \le \min{\{b,1-a\}} \tag{1}$$ De las cuatro inecuaciones restantes obtenemos $$ \max{\{0,c+b-1\}} \le x \le \min{\{1,c+b\}} \tag{2}$$ $$ \max{\{0,1-a-c\}} \le y \le \min{\{1,2-a-c\}} \tag{3}$$

Geométricamente, cada una de las inecuaciones $(1)$, $(2)$ y $(3)$ es una franja en el plano delimitada por dos líneas paralelas. En $(1)$, estas líneas se cruzan con el eje $x$ en 135 grados. La línea izquierda (límite inferior) pasa por el origen. En $(2)$, las líneas son paralelas al eje $y$ y en $(3)$ son paralelas al eje $y$. La solución (intersección) de $(2)$ y $(3)$ es un rectángulo con lados paralelos a los ejes. Este rectángulo siempre se encuentra a la izquierda del límite inferior de la franja $(1)$. La franja y el rectángulo tienen una intersección no vacía si el vértice inferior izquierdo del rectángulo está en la franja. Esto solo ocurre si está a la izquierda del límite derecho (superior) de la franja.

Estas inecuaciones tienen solución si la suma de la LHS de $(2)$ y $(3)$ es menor que la RHS de $(1)$ y la suma de la RHS de $(2)$ y $(3)$ es mayor que la LHS de $(1)$. Esto último siempre es cierto, por lo que la inecuación restante es

$$\max{\{0,c+b-1\}} + \max{\{0,1-a-c\}} \le \min{\{b,1-a\}} \tag{4}$$

De esto se deduce que la respuesta $c$ no es posible.

Si hay una solución, entonces hay una solución con

$$x=\max{\{0,c+b−1\}}$$ $$y=\max{\{0,1−a−c\}}$$ y por lo tanto

$$ \begin{eqnarray} abc & = & b-\max{\{0,c+b-1\}}-\max{\{0 , -c-a+1\}} \\ bca & = & \max{\{0 , c+b-1\}} \\ cab & = & c+a+\max{\{0 , -c-a+1\}}-1 \\ cba & = & -a- \max{\{0 , c+b-1\}}-\max{\{0 , -c-a+1\}}+1 \\ bac & = & \max{\{0 , -c-a+1\}} \\ acb & = & -c-b+ \max{\{0 , c+b-1\}}+1 \end{eqnarray} $$

Si un resultado contiene un componente negativo, entonces no existe solución. Para las frecuencias $a$,$b$,$c$ en la publicación original obtenemos

$$\left[ a=0.51 , b=0.51 , c=0.51 , {\it abc}=0.49 , {\it bca}=0.02 , {\it cab}=0.02 , {\it cba}=0.47 , {\it bac}=0 , {\it acb}=0.0 \right] $$

$$\left[ a=0.61 , b=0.71 , c=0.67 , {\it abc}=0.33 , {\it bca}=0.38 , {\it cab}=0.28 , {\it cba}=0.01 , {\it bac}=0 , {\it acb}=0.0 \right] $$

$$\left[ a=0.68 , b=0.68 , c=0.68 , {\it abc}=0.32 , {\it bca}=0.36 , {\it cab}=0.36 , {\it cba}=-0.04 , {\it bac}=0 , {\it acb}=0.0 \right] $$

$$\left[ a=0.49 , b=0.49 , c=0.49 , {\it abc}=0.47 , {\it bca}=0 , {\it cab}=0.0 , {\it cba}=0.49 , {\it bac}=0.02 , {\it acb}=0.02 \right] $$

esto se puede verificar usando

$$a=abc+acb+cab$$ $$b=bca+bac+abc$$ $$c=cab+cba+bca$$

La inecuación $(4)$ se puede investigar más a fondo. Podemos eliminar la función $\min$ y $\max$ distinguiendo 8 casos diferentes. No escribiré esa prueba extensa, pero finalmente se cumple lo siguiente:

• si dos de las sumas $a+b$, $a+c$, $b+c$ son $\ge 1$ y una es $\le 1$ entonces hay una solución para $(4)$
• si dos de las sumas $a+b$, $a+c$, $b+c$ son $\le 1$ y una es $\ge 1$ entonces hay una solución para $(4)$
• si las tres sumas $a+b$, $a+c$, $b+c$ son $\le 1$ pero $a+b+c \ge 1$ entonces hay una solución para $(4)$
• si las tres sumas $a+b$, $a+c$, $b+c$ son $\ge 1$ pero $a+b+c \le 2$ entonces hay una solución para $(4)$

Esto demuestra lo siguiente:

Una condición necesaria y suficiente para que $(4)$ (y por lo tanto para la publicación original) tenga una solución es que para $a$,$b$ y $c$ se cumpla $$1 \le a+b+c \le 2$$

Answer 3

Basado en el razonamiento de mi otra respuesta, llegué a la siguiente respuesta que es mucho más simple. Muestra que la condición establecida por @HagenvonEitzen es suficiente para construir soluciones explícitas.

Lema: $(a,b,c)$ son números posibles (como se define en el OP) si y solo si $0 \le a+b+c \le 1$.

Supongo que se le pregunta a la gente a quién le gusta más y a quién le gusta menos de A, B y C y al más gustado no puede ser el mismo que el menos gustado. Tenemos que resolver un sistema de ecuaciones lineales e inecuaciones.

Definimos la variable de tres letras como $abc$ la frecuencia relativa en la que a una persona le gusta más A y le gusta menos C. Esto debería significar que a A se prefiere a B y a C.

Obtenemos ahora las siguientes cuatro ecuaciones:

$$\begin{eqnarray} \tag{1}\\ abc + acb + cab & = & a \\ bac + bca + abc & = & b \\ cba + cab +bca & = & c \\ abc + acb + bca + bac + cab + cba & = & 1 \end{eqnarray} $$

De esto obtenemos $$a+b+c \\=(abc + acb + cab)+(bac + bca + abc)+(cba + cab +bca)\\=(abc + acb + bca + bac + cab + cba)+(abc+bca+cab)\\=1+(abc+bca+cab)$$ Podemos concluir que $$1 \le a+b+c \le 2 \tag{2}$$ porque $$0 \le abc+bca+cab \le 1$$

Por lo tanto, esta es una condición necesaria para que el problema tenga una solución.

Ahora asumamos que $(2)$ es válido.

Ahora vamos a verificar las tres sumas $a+b$, $a+c$, $b+c$. Sin pérdida de generalidad, asumimos que $a \le b \le c$ y por lo tanto $a+b \le a+c \le b+c$.

Si todas estas sumas son $ \le 1$ establecemos

$$acb=1-b,cba=b+c-1,bac=b+a-1,bca=-b-c-a+2,cab=0,abc=0$$

Si todas estas sumas son $ \ge 1$ establecemos

$$acb=b+c+a-1,cba=0,bac=0,bca=b,cab=-b-a+1,abc=-b-c+1$$

El caso restante es que al menos una suma es $\ge 1$ y al menos una suma es $\le 1$. Entonces tenemos $a+b \le 1$ y $b+c \ge 1$. Establecemos

$$acb=a,cba=b+c-1,bac=0,bca=1-c,cab=-b-a+1,abc=0$$

Es fácil verificar que todos estos valores definidos están entre $0$ y $1. Por lo tanto, son frecuencias relativas válidas. Y satisfacen $(1)$.

Entonces la condición (2) también es suficiente.

En tu ejemplo solo la respuesta c no cumple con la condición.